微分方程 (e)^xtan ydx+(1-(e)^x)(sec )^2ydy=0 的通解是 __

步骤 1：分离变量
将给定的微分方程 $3{e}^{x}\tan y{x}^{3}x+(1-{e}^{x}){\sec }^{2}ydy=0$ 两边同乘以 $\dfrac {1}{(1-{e}^{x})\tan y}$，得到
$$\dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})\tan y}+\dfrac {(1-{e}^{x}){\sec }^{2}y}{(1-{e}^{x})\tan y}dy=0$$
化简后得到
$$\dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})\tan y}+\dfrac {{\sec }^{2}y}{\tan y}dy=0$$
进一步化简为
$$\dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})\tan y}+\dfrac {1}{\sin y\cos y}dy=0$$
步骤 2：积分
对上式进行积分，得到
$$\int \dfrac {1}{\sin y\cos y}dy=-\int \dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})\tan y}dx$$
左边的积分可以化简为
$$\int \dfrac {1}{\sin y\cos y}dy=\int \dfrac {\sec ^{2}y}{\tan y}dy=\ln |\tan y|+C_{1}$$
右边的积分可以化简为
$$-\int \dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})\tan y}dx=-\int \dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})}dx$$
步骤 3：求解通解
将两边的积分结果相等，得到
$$\ln |\tan y|+C_{1}=-\int \dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})}dx$$
化简后得到
$$\ln |\tan y|=-\int \dfrac {3{e}^{x}{x}^{3}x}{(1-{e}^{x})}dx+C_{2}$$
其中 $C_{2}=C_{1}$ 是积分常数。因此，通解为
$$\tan y=C{({e}^{x}-1)}^{3}$$
其中 $C$ 是任意常数。