题目

如图所示，在半径为 R1，体电荷密度为R1 的均匀带电球体内挖去一个半径 R1 的小球体，空腔中心 R1与带电球中心 R1 间的距离为a，且 R1a>R_2" data-width="118" data-height="23" data-size="1657" data-format="png" style="max-width:100%">则空腔内任一点的电场强度大小为R1=_____ (已知真空介电常量为R1 )R1

如图所示，在半径为 $R_1$ ，体电荷密度为 $\rho$ 的均匀带电球体内挖去一个半径 $R_2$ 的小球体，空腔中心 $C_2$ 与带电球中心 $C_1$ 间的距离为a，且 $R_1>a>R_2$ 则空腔内任一点的电场强度大小为 $E$ =_____ (已知真空介电常量为 $\varepsilon_0$ )

题目解答

答案

设球内一点x，距离带电球中心 $C_1$ 为 $x$ ，距离空腔中心 $C_2$ 为 $a-x$ 。

由 $\int_{ }^{ }Eds=\frac{q}{\varepsilon_0}$ 可得球体对点x的电场强度为 $E_14\pi x^2=\frac{4\pi\rho x^3}{3\varepsilon_0}$ ， $E_1=\frac{\rho x}{3\varepsilon_0}$

球体对点x的电场强度为 $E_24\pi\left(a-x\right)^2=\frac{4\pi\rho\left(a-x\right)^3}{3\varepsilon_0}$ ， $E_2=\frac{\rho\left(a-x\right)}{3\varepsilon_0}$

因此，当点x在 $C_2$ 与 $C_1$ 间， $E_1$ 与 $E_2$ 方向相反 $E=E_1-\left(-E_2\right)=\frac{a\rho}{3\varepsilon_0}$ 。当点x在 $C_2$ 外侧时，距离空腔中心 $C_2$ 为 $x-a$ ， $E=E_1-E_2$ ，结果一致。

解析

步骤 1：确定电场强度的计算方法
在均匀带电球体中，电场强度可以通过高斯定理计算。对于挖去一个小球体的情况，可以将问题分解为两个部分：一个完整的均匀带电球体和一个带相反电荷的小球体。这样，空腔内的电场强度可以看作是这两个电荷分布产生的电场强度的叠加。

步骤 2：计算完整均匀带电球体的电场强度
设球内一点x，距离带电球中心 10为，距离空腔中心为a-x。由高斯定理可得球体对点x的电场强度为${E}_{1}=\dfrac {\rho x}{3{\varepsilon }_{0}}$，其中$\rho$是体电荷密度，${\varepsilon }_{0}$是真空介电常量。

步骤 3：计算带相反电荷的小球体的电场强度
球体对点x的电场强度为${E}_{2}=\dfrac {\rho (a-x)}{3{\varepsilon }_{0}}$，其中a-x是点x到空腔中心的距离。

步骤 4：计算空腔内任一点的电场强度
当点x在与 10 间，E1与E2方向相反，因此空腔内任一点的电场强度大小为$E={E}_{1}-(-{E}_{2})=\dfrac {\rho x}{3{\varepsilon }_{0}}+\dfrac {\rho (a-x)}{3{\varepsilon }_{0}}=\dfrac {\rho a}{3{\varepsilon }_{0}}$。当点x在外侧时，距离空腔中心为0-x，结果一致。