题目 设 A 为 n×n 矩阵， r(A)=r<n ，那么 A 的 n 个列向量中 () A. 任意 r 个列向量线性无关 B. 必有某 r 个列向量线性无关 C. 任意 r 个列向量均构成极大线性无关组 D. 任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示

考查要点：本题主要考查矩阵秩与列向量线性相关性的关系，重点理解极大线性无关组的性质及矩阵秩的定义。

解题核心思路：

1. 矩阵秩的定义：矩阵的秩等于其列（行）向量组的最大线性无关组所含向量的个数。
2. 极大线性无关组的存在性：存在某个r个列向量线性无关，但不能保证任意r个列向量都无关。
3. 极大线性无关组的唯一性：不同极大线性无关组可能有不同的组合，因此不能保证所有r个列向量均构成极大无关组。
4. 列向量的可表示性：秩不足n时，至少存在一个列向量不能被其他列向量线性表示。

破题关键点：

• 选项B的关键在于“存在性”而非“任意性”。
• 选项D的反例可通过构造特殊矩阵（如分块矩阵）说明其不成立。

选项分析

选项A：任意r个列向量线性无关

错误。
矩阵秩为r，说明列向量组中存在r个线性无关的向量，但可能存在其他列向量与它们线性相关。例如，若矩阵A的某列是零向量，则任意包含该列的r个向量必然线性相关。

选项B：必有某r个列向量线性无关

正确。
根据秩的定义，列向量组的秩为r，因此至少存在一个包含r个列向量的线性无关组。

选项C：任意r个列向量均构成极大线性无关组

错误。
极大线性无关组需满足两个条件：

1. 本身线性无关；
2. 能线性表示所有列向量。
   若存在多个极大线性无关组，则并非所有r个列向量组合都能满足第二个条件。

选项D：任意1个列向量均可由其余n−1个列向量线性表示

错误。
若秩r < n，则列向量组中至少存在一个列向量不能被其他列向量线性表示。例如，构造矩阵A的前r列为线性无关组，后续列为零向量，则零向量可被表示，但前r列中的某些列可能无法被后续列表示。