4、在曲线 x=t , =-(t)^2 , =(t)^3 的所有切线中,与平面 9x+6y+z=4 平行的切线方-|||-程为 __-|||-(A) dfrac (x-1)(1)=dfrac (y+1)(-2)=dfrac (z-1)(3)-|||-(B) dfrac (x-1)(1)=dfrac (y+1)(-2)=dfrac (z-1)(3) 或 dfrac (x-3)(1)=dfrac (y+9)(-6)=dfrac (z-27)(27):-|||-(C) dfrac (x-3)(1)=dfrac (y+9)(-6)=dfrac (z-27)(27);-|||-(D) dfrac (x-1)(9)=dfrac (y+1)(6)=dfrac (z-1)(1) 或 dfrac (x-3)(9)=dfrac (y+9)(6)=dfrac (z-27)(1).

考查要点：本题主要考查空间曲线切线方程的求解，以及直线与平面平行的条件。
解题思路：

1. 确定曲线的切向量：对参数方程求导得到切向量。
2. 平面法向量：由平面方程直接写出法向量。
3. 平行条件：切线方向向量与平面法向量垂直，即点积为零，解方程得到参数值。
4. 求切线方程：代入参数值得到切点坐标和方向向量，写出直线方程。

关键点：

• 切向量与法向量垂直是核心条件，需正确计算点积并解方程。
• 注意参数方程的正确形式，避免因输入错误导致方向向量计算错误。

步骤1：确定曲线的切向量

曲线参数方程为：
$x = t, \quad y = -t^2, \quad z = t^3$
对参数$t$求导，得切向量：
$\vec{T} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = (1, -2t, 3t^2)$

步骤2：平面法向量

平面方程为$9x + 6y + z = 4$，其法向量为：
$\vec{n} = (9, 6, 1)$

步骤3：切线与平面平行的条件

切线方向向量$\vec{T}$与法向量$\vec{n}$垂直，即点积为零：
$\vec{T} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 9 + (-2t) \cdot 6 + 3t^2 \cdot 1 = 9 - 12t + 3t^2 = 0$
解方程：
$3t^2 - 12t + 9 = 0 \implies t^2 - 4t + 3 = 0 \implies t = 1 \text{ 或 } t = 3$

步骤4：求切线方程

• 当$t=1$时：
  切点为$(1, -1, 1)$，方向向量为$(1, -2, 3)$，切线方程为：
  $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-1}{3}$
• 当$t=3$时：
  切点为$(3, -9, 27)$，方向向量为$(1, -6, 27)$，切线方程为：
  $\frac{x-3}{1} = \frac{y+9}{-6} = \frac{z-27}{27}$