题目
已知向量组 overrightarrow(alpha)_1=(1,2,3,1)^T，overrightarrow(alpha)_2=(1,1,2,-1)^T，overrightarrow(alpha)_3=(-2,-6,a,-6)^T，overrightarrow(alpha)_4=(0,-1,-1,b)^T 的秩为 2，常数 a,b 的值为A. a=-6,b=8B. a=-8,b=-2C. a=-4,b=3D. a=8,b=-6
已知向量组 $\overrightarrow{\alpha}_1=(1,2,3,1)^T$，$\overrightarrow{\alpha}_2=(1,1,2,-1)^T$，$\overrightarrow{\alpha}_3=(-2,-6,a,-6)^T$，$\overrightarrow{\alpha}_4=(0,-1,-1,b)^T$ 的秩为 2，常数 $a,b$ 的值为
A. $a=-6,b=8$
B. $a=-8,b=-2$
C. $a=-4,b=3$
D. $a=8,b=-6$
题目解答
答案
B. $a=-8,b=-2$
解析
步骤 1：构造矩阵
构造由向量组 $\overrightarrow{\alpha}_1$，$\overrightarrow{\alpha}_2$，$\overrightarrow{\alpha}_3$，$\overrightarrow{\alpha}_4$ 构成的矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -6 & -1 \\ 3 & 2 & a & -1 \\ 1 & -1 & -6 & b \end{pmatrix} \]
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行阶梯形： \[ A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & a+8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b+2 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定秩为 2 的条件
为使矩阵的秩为 2，第三、四行须为零行，即： \[ \begin{cases} a + 8 = 0 \\ b + 2 = 0 \end{cases} \]
步骤 4：求解方程组
解方程组： \[ \begin{cases} a = -8 \\ b = -2 \end{cases} \]
构造由向量组 $\overrightarrow{\alpha}_1$，$\overrightarrow{\alpha}_2$，$\overrightarrow{\alpha}_3$，$\overrightarrow{\alpha}_4$ 构成的矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -6 & -1 \\ 3 & 2 & a & -1 \\ 1 & -1 & -6 & b \end{pmatrix} \]
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行阶梯形： \[ A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & a+8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b+2 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定秩为 2 的条件
为使矩阵的秩为 2，第三、四行须为零行，即： \[ \begin{cases} a + 8 = 0 \\ b + 2 = 0 \end{cases} \]
步骤 4：求解方程组
解方程组： \[ \begin{cases} a = -8 \\ b = -2 \end{cases} \]