题目
已知随机变量的概率密度为。求：（1）常数的值，并求概率;(2)的概率密度。
已知随机变量
的概率密度为
。
求：（1）常数
的值，并求概率
;
(2)
的概率密度。
题目解答
答案
∵根据随机变量的概率密度的性质可得：
∴对于本题的概率密度有：
∴(1)由上式解得
;
∴
。
∴
（2）在
取值时，在
取值。
故若
或
时，
。
若
，
的分布函数：
∴当
时，
。
∴所求的的概率密度为：
。
解析
步骤 1：求常数k的值
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1，即
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
对于给定的概率密度函数，有
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}0dx+{\int }_{0}^{\pi }kxdx=0+\dfrac {k}{2}{x}^{2}{|}_{0}^{\pi }=1$
解得$k=\dfrac {2}{{\pi }^{2}}$。
步骤 2：求概率$(-1\lt x\lt \dfrac {\pi }{2})$
根据概率密度函数，有
$(-1\lt x\lt \dfrac {\pi }{2})={\int }_{-1}^{0}0dx+{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {2}{{\pi }^{2}}xdx=\dfrac {1}{{\pi }^{2}}{x}^{2}{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}=\dfrac {1}{4}$。
步骤 3：求$Y=\sin X$的概率密度
当$0\lt x\lt \pi$时，$0\lt y\lt 1$，$Y=\sin X$的概率密度函数为
${f}_{Y}(y)=\dfrac {d}{dy}F(y)=\dfrac {d}{dy}(\dfrac {2}{\pi }\arcsin y)=\dfrac {2}{\pi \sqrt {1-{y}^{2}}}$。
当$y\leqslant 0$或$y\geqslant 1$时，${f}_{Y}(y)=0$。
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1，即
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
对于给定的概率密度函数，有
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}0dx+{\int }_{0}^{\pi }kxdx=0+\dfrac {k}{2}{x}^{2}{|}_{0}^{\pi }=1$
解得$k=\dfrac {2}{{\pi }^{2}}$。
步骤 2：求概率$(-1\lt x\lt \dfrac {\pi }{2})$
根据概率密度函数，有
$(-1\lt x\lt \dfrac {\pi }{2})={\int }_{-1}^{0}0dx+{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {2}{{\pi }^{2}}xdx=\dfrac {1}{{\pi }^{2}}{x}^{2}{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}=\dfrac {1}{4}$。
步骤 3：求$Y=\sin X$的概率密度
当$0\lt x\lt \pi$时，$0\lt y\lt 1$，$Y=\sin X$的概率密度函数为
${f}_{Y}(y)=\dfrac {d}{dy}F(y)=\dfrac {d}{dy}(\dfrac {2}{\pi }\arcsin y)=\dfrac {2}{\pi \sqrt {1-{y}^{2}}}$。
当$y\leqslant 0$或$y\geqslant 1$时，${f}_{Y}(y)=0$。