过曲面 sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) = sqrt(a), (a > 0) 上点 M_(0)(x_(0), y_(0), z_(0)) 的切平面在各坐标轴上的截距之和为(）.A. 3sqrt(a)B. 3aC. aD. sqrt(a)

本题考查曲面的切平面方程以及截距的计算。解题思路是先求出曲面在给定点处的法向量，进而得到切平面方程，然后将切平面方程化为截距式方程，最后求出在各坐标轴上的截距之和。

步骤一：求曲面在点$M_0(x_0,y_0,z_0)$处的法向量

设$F(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}$，根据求偏导数公式$(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，分别对$x$，$y$，$z$求偏导数：

• $F_x=\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，将点$M_0(x_0,y_0,z_0)$代入可得$F_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$。
• $F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$，将点$M_0(x_0,y_0,z_0)$代入可得$F_y(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{2\sqrt{y_0}}$。
• $F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{1}{2\sqrt{z}}$，将点$M_0(x_0,y_0,z_0)$代入可得$F_z(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{2\sqrt{z_0}}$。

所以曲面在点$M_0(x_0,y_0,z_0)$处的法向量$\vec{n}=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0)) = (\frac{1}{2\sqrt{x_0}},\frac{1}{2\sqrt{y_0}},\frac{1}{2\sqrt{z_0}})$。

步骤二：求切平面方程

根据点法式方程$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$（其中$(A,B,C)$为法向量，$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点），可得切平面方程为：
$\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0) + \frac{1}{2\sqrt{y_0}}(y - y_0) + \frac{1}{2\sqrt{z_0}}(z - z_0) = 0$
两边同时乘以$2$得：
$\frac{1}{\sqrt{x_0}}(x - x_0) + \frac{1}{\sqrt{y_0}}(y - y_0) + \frac{1}{\sqrt{z_0}}(z - z_0) = 0$
展开可得：
$\frac{x}{\sqrt{x_0}} - \sqrt{x_0} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} - \sqrt{y_0} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} - \sqrt{z_0} = 0$
移项得：
$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0}$
因为点$M_0(x_0,y_0,z_0)$在曲面$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{a}$上，所以$\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$，则切平面方程为$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}$。

步骤三：求切平面在各坐标轴上的截距

• 令$y = 0$，$z = 0$，可得$\frac{x}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{a}$，解得$x = \sqrt{ax_0}$，即切平面在$x$轴上的截距为$\sqrt{ax_0}$。
• 令$x = 0$，$z = 0$，可得$\frac{y}{\sqrt{y_0}} = \sqrt{a}$，解得$y = \sqrt{ay_0}$，即切平面在$y$轴上的截距为$\sqrt{ay_0}$。
• 令$x = 0$，$y = 0$，可得$\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}$，解得$z = \sqrt{az_0}$，即切平面在$z$轴上的截距为$\sqrt{az_0}$。

步骤四：求截距之和

截距之和为$\sqrt{ax_0} + \sqrt{ay_0} + \sqrt{az_0} = \sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0})$，又因为$\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$，所以截距之和为$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$。