题目
设函数 f(x) 在 x=0 处可导，则 lim_(h arrow 0) (f(2h)-f(-3h))/(h) = （ ）A. -f'(0) B. f'(0) C. 5f'(0) D. 2f'(0)
设函数$ f(x) $在$ x=0 $处可导，则$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(-3h)}{h} = $（ ）
A. $ -f'(0) $
B. $ f'(0) $
C. $ 5f'(0) $
D. $ 2f'(0) $
题目解答
答案
C. $ 5f'(0) $
解析
步骤 1：将极限表达式拆分为两个部分
将给定的极限表达式拆分为两个部分，以便分别处理：
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(-3h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(0)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0)-f(-3h)}{h} $$
步骤 2：利用导数定义
利用导数的定义，将上述两个极限表达式分别转换为导数的形式：
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(0)}{h} = 2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(0)}{2h} = 2f'(0) $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0)-f(-3h)}{h} = 3 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0)-f(-3h)}{-3h} = 3f'(0) $$
步骤 3：合并结果
将步骤 2 中得到的两个结果合并，得到最终答案：
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(-3h)}{h} = 2f'(0) + 3f'(0) = 5f'(0) $$
将给定的极限表达式拆分为两个部分，以便分别处理：
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(-3h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(0)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0)-f(-3h)}{h} $$
步骤 2：利用导数定义
利用导数的定义，将上述两个极限表达式分别转换为导数的形式：
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(0)}{h} = 2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(0)}{2h} = 2f'(0) $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0)-f(-3h)}{h} = 3 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0)-f(-3h)}{-3h} = 3f'(0) $$
步骤 3：合并结果
将步骤 2 中得到的两个结果合并，得到最终答案：
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2h)-f(-3h)}{h} = 2f'(0) + 3f'(0) = 5f'(0) $$