题目

某种晶体管的寿命X（以小时计）具有概率密度：f(x)= ^2),xgt 100 0, ." data-width="155" data-height="65" data-size="2816" data-format="png" style="max-width:100%">（1）求该晶体管寿命小于150小时的概率；（2）一台仪器中有4只此种晶体管，假设其损坏与否相互独立，现工作150小时后，至少有一只失效的概率是多少？

某种晶体管的寿命X（以小时计）具有概率密度： $f\left(x\right)=\left \{ ^{\frac{100}{x^2},x>100}_{0,其他} \right.$

（1）求该晶体管寿命小于150小时的概率；

（2）一台仪器中有4只此种晶体管，假设其损坏与否相互独立，现工作150小时后，至少有一只失效的概率是多少？

题目解答

答案

（1）∵ $f\left(x\right)=\left \{ ^{\frac{100}{x^2},x>100}_{0,其他} \right.$

∴ $P\left(X<150\right)=\int_{100}^{150}\frac{100}{x^2}dx$

$=-\frac{100}{x}\mid_{100}^{150}$

$=1-\frac{2}{3}$

$=\frac{1}{3}$

∴该晶体管寿命小于150小时的概率为 $\frac{1}{3}$

（2）∵4只此种晶体管损坏与否相互独立

∴它们的寿命满足 $B\left(4,\frac{1}{3}\right)$

∴至少有一只失效的概率为：

$1-C_4^0\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(1-\frac{1}{3}\right)^4$

$=1-\frac{16}{81}$

$=\frac{65}{81}$

∴至少有一只失效的概率是 $\frac{65}{81}$

解析

步骤 1：计算晶体管寿命小于150小时的概率
根据题目中给出的概率密度函数$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {100}{{x}^{2}},x\gt 100\\ 0,其他\end{matrix} \right.$，我们需要计算晶体管寿命小于150小时的概率，即$P(X\lt 150)$。这可以通过对概率密度函数在100到150之间进行积分来计算。
步骤 2：计算至少有一只晶体管失效的概率
由于4只晶体管损坏与否相互独立，我们可以使用二项分布来计算至少有一只晶体管失效的概率。设$X$为失效的晶体管数量，$X$满足$B(4,\dfrac {1}{3})$，其中$\dfrac {1}{3}$是单个晶体管在150小时内失效的概率。我们需要计算$P(X\geq 1)$，即至少有一只晶体管失效的概率。