题目
30.设随机变量X的分布律为{}XP的分布律为( ).A.{}Y=X^2P rangleB.{}Y=X^2P rangleC.{}Y=X^2P rangleD.{}Y=X^2P rangle
30.设随机变量X的分布律为$\left\{\begin{matrix}X\\P\end{matrix}\right| \begin{matrix}-2&-1&0&1&3\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{5}&\frac{1}{15}&\frac{11}{30}\end{matrix} \right\rangle,$则$Y=X^{2}$的分布律为( ).
A.$\left\{\begin{matrix}Y=X^{2}\\P\end{matrix}\right| \begin{matrix}0&1&4&9\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{matrix} \right\rangle$
B.$\left\{\begin{matrix}Y=X^{2}\\P\end{matrix}\right| \begin{matrix}0&1&4&9\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{15}&\frac{11}{30}\end{matrix} \right\rangle$
C.$\left\{\begin{matrix}Y=X^{2}\\P\end{matrix}\right| \begin{matrix}0&1&4&9\\\frac{1}{5}&\frac{1}{15}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{matrix} \right\rangle$
D.$\left\{\begin{matrix}Y=X^{2}\\P\end{matrix}\right| \begin{matrix}0&1&4&9\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{5}&\frac{11}{30}\end{matrix} \right\rangle$
题目解答
答案
设随机变量 $X$ 的分布律为：
$\begin{array}{cc}X & -2 & -1 & 0 & 1 & 3 \\\hlineP & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{5} & \frac{1}{15} & \frac{11}{30} \\\end{array}$
令 $Y = X^2$，则 $Y$ 的可能取值为 $0, 1, 4, 9$。计算每个取值的概率：
- $P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{5}$，
- $P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{7}{30}$，
- $P(Y = 4) = P(X = -2) = \frac{1}{5}$，
- $P(Y = 9) = P(X = 3) = \frac{11}{30}$。
因此，$Y$ 的分布律为：
$\boxed{\begin{array}{cc}Y & 0 & 1 & 4 & 9 \\\hlineP & \frac{1}{5} & \frac{7}{30} & \frac{1}{5} & \frac{11}{30} \\\end{array}}$
对应选项 A。答案：$\boxed{A}$
解析
本题考查随机变量函数的分布律的求解。解题思路是先确定随机变量函数的可能取值，再根据原随机变量的分布律计算每个可能取值对应的概率。
下面进行详细的计算：
- 确定确定随机变量 $Y = X^2$ 的可能取值：
当 $X=-2$ 时，$Y = (-2)^2 = 4$；
当 $X = -1$ 时，$Y = (-1)^2 = 1$；
当 $X = 0$ 时，$0)^2 = 0$；
当 $X = 1$ 时，$Y = 1^2 = 1$；
当 $X = 3$ 时，$Y = 3^2 = 9$。
所以 $Y$ 的可能取值为 $0, 1, 4, 9$。 - 计算每个可能取值对应的概率：
- $P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{5}$。
- $P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{7}{30}$。
- $P(Y = 4) = P(X = -2) = \frac{1}{5}$。
- $P(Y = 9) = P(X = 3) = \frac{11}{30}$。