下列命题中正确的是() A. 设A和B都是数域F上的n阶反对称矩阵,则A-3B是反对称矩阵B. 设A和B都是数域F上的n阶对称矩阵,则AB是对称矩阵C. 设A和B都是数域F上的n阶初等矩阵,则AB是初等矩阵D. 设A和B都是数域F上的n阶可逆矩阵,则A+B是可逆矩阵

考查要点：本题主要考查矩阵的基本性质，包括反对称矩阵、对称矩阵、初等矩阵和可逆矩阵的运算性质。

解题核心思路：

1. 反对称矩阵的线性组合仍保持反对称性；
2. 对称矩阵的乘积不一定对称；
3. 初等矩阵的乘积不一定是初等矩阵；
4. 可逆矩阵的和不一定可逆。

破题关键点：

• 选项A：利用反对称矩阵的定义验证线性组合的转置是否满足反对称性；
• 选项B：通过矩阵乘法的转置性质判断是否对称；
• 选项C：理解初等矩阵的乘积对应多次初等变换，可能超出单次变换范围；
• 选项D：构造反例说明可逆矩阵的和可能不可逆。

选项A

反对称矩阵的定义：若矩阵$A$满足$A^T = -A$，则$A$为反对称矩阵。
验证$A-3B$是否反对称：

• $(A-3B)^T = A^T - 3B^T = (-A) - 3(-B) = -A + 3B = -(A - 3B)$，
  因此$A-3B$是反对称矩阵，选项A正确。

选项B

对称矩阵的乘积性质：若$A$和$B$对称，则$(AB)^T = B^T A^T = BA$。
判断$AB$是否对称：

• 若$AB = BA$，则$AB$对称；否则$AB$不对称。
• 反例：取$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，则$AB = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}$，其转置为$\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \neq AB$，故$AB$不对称，选项B错误。

选项C

初等矩阵的乘积性质：初等矩阵对应初等变换，但两次不同的初等变换组合可能无法用一次初等变换表示。
反例：设$E_1$为交换第一、二行的初等矩阵，$E_2$为将第一行乘以2的初等矩阵，则$E_1E_2$对应“先交换行再倍乘”，其结果不是初等矩阵，选项C错误。

选项D

可逆矩阵的和性质：可逆矩阵的和可能不可逆。
反例：取$A = I$，$B = -I$，则$A + B = O$（零矩阵），不可逆，选项D错误。