讨论下列函数的有界性：(1) f(x) = (x)/(1 + x^2);

我们来讨论函数
$f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$
的有界性，即判断该函数在定义域内是否有上界和下界。

第一步：确定函数的定义域

函数 $ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} $ 是一个分式函数，分母为 $ 1 + x^2 $。
由于对任意实数 $ x $，都有 $ 1 + x^2 > 0 $，分母永不为零，
因此函数在全体实数上有定义，即定义域为 $ \mathbb{R} $。

第二步：分析函数的极限行为（当 $ x \to \pm\infty $ 时）

我们考察当 $ x \to +\infty $ 和 $ x \to -\infty $ 时函数的趋势：

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1 + x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

同理，
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1 + x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} = 0$

所以当 $ x \to \pm\infty $ 时，函数值趋于 0。

这说明函数在无穷远处不会趋于无穷，可能有界。

第三步：求导，寻找极值点（判断最大值和最小值）

为了判断函数是否有界，我们可以通过求导找出函数的最大值和最小值。

令：
$f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$

求导（使用商数法则）：
$f'(x) = \frac{(1)(1 + x^2) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$

令导数为 0，求临界点：
$f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ 或 } x = -1$

第四步：判断极值点处的函数值

计算函数在 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $ 处的值：

• $ f(1) = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2} $
• $ f(-1) = \frac{-1}{1 + (-1)^2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $

再分析导数符号变化：

• 当 $ x < -1 $：$ 1 - x^2 < 0 $，所以 $ f'(x) < 0 $
• 当 $ -1 < x < 1 $：$ 1 - x^2 > 0 $，所以 $ f'(x) > 0 $
• 当 $ x > 1 $：$ 1 - x^2 < 0 $，所以 $ f'(x) < 0 $

因此：

• 在 $ x = -1 $ 处，函数由减变增，是极小值点
• 在 $ x = 1 $ 处，函数由增变减，是极大值点

所以：

• 最大值为 $ f(1) = \frac{1}{2} $
• 最小值为 $ f(-1) = -\frac{1}{2} $

第五步：判断有界性

我们已经得出：

• 对所有 $ x \in \mathbb{R} $，有 $ -\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{1}{2} $

即函数既有上界（例如 $ \frac{1}{2} $），也有下界（例如 $ -\frac{1}{2} $），
因此函数是有界函数。

结论：

函数 $ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} $ 在 $ \mathbb{R} $ 上有界，
其上确界为 $ \frac{1}{2} $，下确界为 $ -\frac{1}{2} $，
即：
$|f(x)| \leq \frac{1}{2}, \quad \forall x \in \mathbb{R}$

答案：

$\boxed{f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \text{ 是有界函数，且 } -\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{1}{2},\ \forall x \in \mathbb{R}}$