【题目]-|||-设方程 -(e)^x+(e)^y=0 确定了函数 =f(x), 试求y`,y"(0).

考查要点：本题主要考查隐函数求导法，特别是二阶导数的计算，以及代入特定点求值的能力。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对原方程两边同时关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则。
2. 代入初始条件：通过原方程确定$x=0$时$y$的值，代入一阶导数表达式求$y'(0)$。
3. 二次求导：对一阶导数的方程再次求导，结合已知条件求$y''(0)$。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则和链式法则，尤其处理含$y$的项。
• 分步代入，避免混淆各阶导数的表达式。

步骤1：求一阶导数$y'$

对原方程$xy - e^x + e^y = 0$两边关于$x$求导：
$\frac{d}{dx}(xy) - \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^y) = 0$
逐项计算：

1. 乘积项$xy$：应用乘积法则，导数为$y + x y'$。
2. $-e^x$：导数为$-e^x$。
3. $e^y$：应用链式法则，导数为$e^y \cdot y'$。

整理得：
$y + x y' - e^x + e^y y' = 0 \quad \text{(1)}$

步骤2：求$y(0)$

令$x=0$代入原方程：
$0 \cdot y(0) - e^0 + e^{y(0)} = 0 \implies -1 + e^{y(0)} = 0 \implies e^{y(0)} = 1 \implies y(0) = 0$

步骤3：求$y'(0)$

将$x=0$和$y(0)=0$代入方程(1)：
$0 + 0 \cdot y'(0) - 1 + e^0 \cdot y'(0) = 0 \implies -1 + y'(0) = 0 \implies y'(0) = 1$

步骤4：求二阶导数$y''$

对方程(1)两边再次关于$x$求导：
$\frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(x y') - \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^y y') = 0$
逐项计算：

1. $y$：导数为$y'$。
2. $x y'$：应用乘积法则，导数为$y' + x y''$。
3. $-e^x$：导数为$-e^x$。
4. $e^y y'$：应用乘积法则和链式法则，导数为$e^y y' \cdot y' + e^y y''$。

整理得：
$y' + y' + x y'' - e^x + e^y (y')^2 + e^y y'' = 0$
合并同类项：
$2y' + x y'' - e^x + e^y (y')^2 + e^y y'' = 0 \quad \text{(2)}$

步骤5：求$y''(0)$

将$x=0$，$y=0$，$y'=1$代入方程(2)：
$2 \cdot 1 + 0 \cdot y''(0) - 1 + e^0 \cdot (1)^2 + e^0 \cdot y''(0) = 0$
化简：
$2 - 1 + 1 + y''(0) = 0 \implies 2 + y''(0) = 0 \implies y''(0) = -2$