设Z1,Z2,Z3三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0及|Z1|=|Z2|=|Z3|=1试证明Z1.Z2.Z3是内接于单位圆周|Z|=1的 正三角形的顶点.

考查要点：本题主要考查复数在几何中的应用，特别是单位圆上复数的对称性及正三角形的复数判据。关键在于利用复数的代数运算和共轭性质，结合对称性条件推导几何结论。

解题核心思路：

1. 利用共轭复数的性质：由条件$|Z_i|=1$可知，$Z_i' = \frac{1}{Z_i}$，这是后续推导的基础。
2. 构造对称关系：通过对原方程取共轭并进行代数组合，得到复数之间的比例关系，从而证明三点均匀分布。
3. 分圆方程的应用：若三点满足同一三次方程$Z^3 = c$（$|c|=1$），则它们必构成正三角形。

破题关键点：

• 关键等式推导：通过原方程与共轭方程的组合，得到$Z_1Z_2' = Z_3Z_1'$等对称关系。
• 判据选择：选择比例关系或分圆方程作为正三角形的判据，简化证明过程。

步骤1：对原方程取共轭

已知$Z_1 + Z_2 + Z_3 = 0$，两边取共轭得：
$Z_1' + Z_2' + Z_3' = 0 \quad \text{(1')}$

步骤2：构造方程组合

将原方程乘以$Z_2'$：
$Z_1Z_2' + Z_2Z_2' + Z_3Z_2' = 0$
因$|Z_2|=1$，故$Z_2Z_2' = 1$，代入得：
$Z_1Z_2' + 1 + Z_3Z_2' = 0 \quad \text{(3)}$

将共轭方程(1')乘以$Z_3$：
$Z_1'Z_3 + Z_2'Z_3 + Z_3'Z_3 = 0$
同理，$Z_3'Z_3 = 1$，得：
$Z_1'Z_3 + Z_2'Z_3 + 1 = 0 \quad \text{(4)}$

步骤3：比较方程(3)与(4)

观察方程(3)和(4)，发现$Z_2'Z_3$是公共项，因此可得：
$Z_1Z_2' = Z_1'Z_3 \quad \text{(5)}$

步骤4：轮换对称性推导

将方程(5)轮换变量，得到：
$Z_3Z_1' = Z_2Z_3' \quad \text{和} \quad Z_2Z_3' = Z_1Z_2'$
这表明三个复数满足比例关系：
$\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{Z_2}{Z_3} = \frac{Z_3}{Z_1}$

步骤5：分圆方程验证

由方程(5)可推导出$Z_1^2 = Z_2Z_3$，代入原方程$Z_1 + Z_2 + Z_3 = 0$，得：
$Z_1^3 = Z_1Z_2Z_3$
令$c = Z_1Z_2Z_3$，则$Z_1, Z_2, Z_3$均为方程$Z^3 = c$的根。因$|c|=1$，该方程的根在单位圆上均匀分布，故三点构成正三角形。