题目
设Z1,Z2,Z3三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0及|Z1|=|Z2|=|Z3|=1试证明Z1.Z2.Z3是内接于单位圆周|Z|=1的 正三角形的顶点.
设Z1,Z2,Z3三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0及|Z1|=|Z2|=|Z3|=1试证明Z1.Z2.Z3是内接于单位圆周|Z|=1的 正三角形的顶点.
题目解答
答案
我有一个纯复数的方法,晚上来写
------
关键两点
1、共扼复数的运用技巧,实现纯复数推理,而不借重于几何直观或者解析几何化.以下我们用Z'表示Z的共扼复数.
2、单位圆上的三个不同的复数点均布的判据,用复数表示
判据1：Z₁/Z₂=Z₂/Z₃=Z₃/Z₁
判据2：满足同一个分圆方程：Z³=c,其中|c|=1
已知：Z₁+ Z₂+ Z₃= 0 ------(1)
Z₁Z'₁= Z₂Z'₂= Z₃Z'₃=1 ------(2)
(2)就表示Z₁, Z₂, Z₃在单位圆上,因单位圆上复数与其共扼复数互为倒数.所以判据1也可以写为Z₁Z'₂=Z₂Z'₃=Z₃Z'₁
证明：由(1)取共扼复数得
Z'₁+ Z'₂+ Z'₃= 0 ------(1')
(1)×Z'₂得Z₁Z'₂+ Z'₂Z₃+1=0 ------(3)
(1')×Z₃得Z'₁Z₃+ Z'₂Z₃+1=0 ------(4)
比较(3)和(4)式得Z₁Z'₂=Z₃Z'₁------(5)
轮换对称地可得Z₃Z'₁=Z₂Z'₃
易知Z₁, Z₂, Z₃不全相等,那么按判据1可知它们在单位圆上均布.
又：由(5)式可得Z²₁=Z₂Z₃,故Z³₁=Z₁Z₂Z₃
令c=Z₁Z₂Z₃,即Z₁满足方程Z³=c
对称地,Z₂和Z₃亦满足方程Z³=c
故亦可按判据2断定Z₁, Z₂, Z₃在单位圆上均布.
要说大学知识,就算这分圆方程了(高中没学)
------
关键两点
1、共扼复数的运用技巧,实现纯复数推理,而不借重于几何直观或者解析几何化.以下我们用Z'表示Z的共扼复数.
2、单位圆上的三个不同的复数点均布的判据,用复数表示
判据1：Z₁/Z₂=Z₂/Z₃=Z₃/Z₁
判据2：满足同一个分圆方程：Z³=c,其中|c|=1
已知：Z₁+ Z₂+ Z₃= 0 ------(1)
Z₁Z'₁= Z₂Z'₂= Z₃Z'₃=1 ------(2)
(2)就表示Z₁, Z₂, Z₃在单位圆上,因单位圆上复数与其共扼复数互为倒数.所以判据1也可以写为Z₁Z'₂=Z₂Z'₃=Z₃Z'₁
证明：由(1)取共扼复数得
Z'₁+ Z'₂+ Z'₃= 0 ------(1')
(1)×Z'₂得Z₁Z'₂+ Z'₂Z₃+1=0 ------(3)
(1')×Z₃得Z'₁Z₃+ Z'₂Z₃+1=0 ------(4)
比较(3)和(4)式得Z₁Z'₂=Z₃Z'₁------(5)
轮换对称地可得Z₃Z'₁=Z₂Z'₃
易知Z₁, Z₂, Z₃不全相等,那么按判据1可知它们在单位圆上均布.
又：由(5)式可得Z²₁=Z₂Z₃,故Z³₁=Z₁Z₂Z₃
令c=Z₁Z₂Z₃,即Z₁满足方程Z³=c
对称地,Z₂和Z₃亦满足方程Z³=c
故亦可按判据2断定Z₁, Z₂, Z₃在单位圆上均布.
要说大学知识,就算这分圆方程了(高中没学)
解析
步骤 1：利用已知条件
已知条件为：Z1 + Z2 + Z3 = 0 和 |Z1| = |Z2| = |Z3| = 1。这意味着Z1, Z2, Z3都在单位圆上，且它们的和为0。
步骤 2：利用复数的性质
由于Z1, Z2, Z3都在单位圆上，所以它们的模长都为1，即|Z1| = |Z2| = |Z3| = 1。这意味着Z1, Z2, Z3的共轭复数分别是1/Z1, 1/Z2, 1/Z3。
步骤 3：证明Z1, Z2, Z3构成正三角形
为了证明Z1, Z2, Z3构成正三角形，我们需要证明它们在单位圆上均匀分布。根据复数的性质，如果Z1, Z2, Z3构成正三角形，那么它们满足Z1/Z2 = Z2/Z3 = Z3/Z1 = e^(2πi/3) 或 e^(-2πi/3)。这等价于证明Z1, Z2, Z3满足同一个分圆方程Z³ = c，其中|c| = 1。
步骤 4：利用已知条件推导
由Z1 + Z2 + Z3 = 0，取共轭复数得Z'1 + Z'2 + Z'3 = 0。利用|Z1| = |Z2| = |Z3| = 1，可以得到Z1Z'1 = Z2Z'2 = Z3Z'3 = 1。因此，Z1Z'2 = Z2Z'3 = Z3Z'1。这表明Z1, Z2, Z3在单位圆上均匀分布，即构成正三角形。
已知条件为：Z1 + Z2 + Z3 = 0 和 |Z1| = |Z2| = |Z3| = 1。这意味着Z1, Z2, Z3都在单位圆上，且它们的和为0。
步骤 2：利用复数的性质
由于Z1, Z2, Z3都在单位圆上，所以它们的模长都为1，即|Z1| = |Z2| = |Z3| = 1。这意味着Z1, Z2, Z3的共轭复数分别是1/Z1, 1/Z2, 1/Z3。
步骤 3：证明Z1, Z2, Z3构成正三角形
为了证明Z1, Z2, Z3构成正三角形，我们需要证明它们在单位圆上均匀分布。根据复数的性质，如果Z1, Z2, Z3构成正三角形，那么它们满足Z1/Z2 = Z2/Z3 = Z3/Z1 = e^(2πi/3) 或 e^(-2πi/3)。这等价于证明Z1, Z2, Z3满足同一个分圆方程Z³ = c，其中|c| = 1。
步骤 4：利用已知条件推导
由Z1 + Z2 + Z3 = 0，取共轭复数得Z'1 + Z'2 + Z'3 = 0。利用|Z1| = |Z2| = |Z3| = 1，可以得到Z1Z'1 = Z2Z'2 = Z3Z'3 = 1。因此，Z1Z'2 = Z2Z'3 = Z3Z'1。这表明Z1, Z2, Z3在单位圆上均匀分布，即构成正三角形。