题目

int dfrac ({x)^5+(x)^4-8}({x)^3-x}dx-|||--|||-.

$\int_{ }^{ }\frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}\mathrm{d}x$ .

题目解答

答案

$\int\frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x}\mathrm{d}x$

$=\int\frac{x^{5}-x^{3}+x^{3}-x+x+x^{4}-x^{2}+x^{2}-8}{x^{3}-x}\mathrm{d}x$

$=\int_{ }^{ }\frac{x^2\left(x^3-x\right)+x\left(x^3-x\right)+\left(x^3-x\right)+x^2+x-8}{x^3-x}\mathrm{d}x$

$=\int\left(x^{2}+x+1+\frac{x^{2}+x-8}{x^{3}-x}\right)\mathrm{d}x$

$=\int\left(x^{2}+x+1\right)\mathrm{d}x+\int\frac{x^{2}+x-8}{x^{3}-x}\mathrm{d}x$

$=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+\int_{ }^{ }\frac{x^2+x-8}{x(x-1)(x+1)}\mathrm{d}x$

∵ $\frac{x^2+x-8}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

$=\frac{A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

$=\frac{\left(\begin{matrix}{A+B+C}\\\end{matrix}\right)x^{2}+\left(\begin{matrix}{B-C}\\\end{matrix}\right)x-A}{x\left(\begin{matrix}{x-1}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}{x+1}\\\end{matrix}\right)}$

∴ $\begin{cases} A+B+C=1 \newline B-C=1 \newline -A=-8 \end{cases}$ 解得： $\begin{cases} A=8 \newline B=-3 \newline C=-4 \end{cases}$

∴ $\int\frac{x^2+x-8}{x^3-x}\mathrm{d}x$

$=\int\left(\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1}-\frac{4}{x+1}\right)\mathrm{d}x$

$=8\ln|x|-3\ln|x-1|-4\ln|x+1|+C$ （ $C$ 为常数）

$\int\frac{x^3+x^4-8}{x^3-x}\mathrm{d}x$ $=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+8\ln|x|-3\ln|x-1|-4\ln|x+1|+C$ （ $C$ 为常数）

故本题答案为 $\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+8\ln|x|-3\ln|x-1|-4\ln|x+1|+C$ （ $C$ 为常数）

解析

步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x}$ 分解为多项式和部分分式之和。
步骤 2：计算多项式部分的积分
计算多项式部分 $\dfrac{{x}^{5}-{x}^{3}+{x}^{3}-x+x+{x}^{4}-{x}^{2}+{x}^{2}-8}{{x}^{3}-x}$ 的积分。
步骤 3：计算部分分式部分的积分
将部分分式 $\dfrac{{x}^{2}+x-8}{{x}^{3}-x}$ 分解为 $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}$，并计算其积分。
步骤 4：合并结果
将多项式部分和部分分式部分的积分结果合并，得到最终答案。

int dfrac ({x)^5+(x)^4-8}({x)^3-x}dx-|||-__-|||-__.

题目解答

答案

解析

int dfrac ({x)^5+(x)^4-8}({x)^3-x}dx-|||--|||-.