6.设X与Y的联合密度函数为-|||-.p(x,y)= ) (e)^-(x+y),xgt 0,ygt 0 0, .-|||-,-|||-试求以下随机变量的密度函数 (1) Z=(X+Y)/2 ; (2) =Y-X. 。

步骤 1：求解Z=(X+Y)/2的分布函数
首先，我们求解Z=(X+Y)/2的分布函数。根据定义，分布函数Fz(z)为P(Z≤z)。由于Z=(X+Y)/2，因此P(Z≤z)等价于P(X+Y≤2z)。由于X和Y的联合密度函数为p(x,y)=e^(-(x+y))，当x>0且y>0时，我们可以通过积分求解分布函数。
步骤 2：计算分布函数Fz(z)
当z≤0时，由于X和Y都是正数，因此P(X+Y≤2z)=0。当z>0时，我们可以通过积分求解分布函数Fz(z)。具体地，我们有：
Fz(z) = P(X+Y≤2z) = ∫∫p(x,y)dxdy
其中积分区域为x>0，y>0且x+y≤2z。将p(x,y)代入，我们得到：
Fz(z) = ∫∫e^(-(x+y))dxdy
步骤 3：计算分布函数Fz(z)的导数
为了求解Z=(X+Y)/2的密度函数，我们需要计算分布函数Fz(z)的导数。根据步骤2中的结果，我们有：
Fz(z) = 1 - e^(-2z) - 2ze^(-2z)
因此，分布函数Fz(z)的导数为：
Pz(z) = dFz(z)/dz = 4ze^(-2z)
步骤 4：求解Z=Y-X的分布函数
接下来，我们求解Z=Y-X的分布函数。根据定义，分布函数Fz(z)为P(Z≤z)。由于Z=Y-X，因此P(Z≤z)等价于P(Y-X≤z)。由于X和Y的联合密度函数为p(x,y)=e^(-(x+y))，当x>0且y>0时，我们可以通过积分求解分布函数。
步骤 5：计算分布函数Fz(z)
当z≤0时，由于X和Y都是正数，因此P(Y-X≤z)=0。当z>0时，我们可以通过积分求解分布函数Fz(z)。具体地，我们有：
Fz(z) = P(Y-X≤z) = ∫∫p(x,y)dxdy
其中积分区域为x>0，y>0且y-x≤z。将p(x,y)代入，我们得到：
Fz(z) = ∫∫e^(-(x+y))dxdy
步骤 6：计算分布函数Fz(z)的导数
为了求解Z=Y-X的密度函数，我们需要计算分布函数Fz(z)的导数。根据步骤5中的结果，我们有：
Fz(z) = 1 - e^(-2z)/2
因此，分布函数Fz(z)的导数为：
Pz(z) = dFz(z)/dz = e^(-z)/2