题目
设积分区域 = (x,y)|{x)^2+4(y)^2leqslant 1} 则 = (x,y)|{x)^2+4(y)^2leqslant 1} = (x,y)|{x)^2+4(y)^2leqslant 1} = (x,y)|{x)^2+4(y)^2leqslant 1} = (x,y)|{x)^2+4(y)^2leqslant 1} = (x,y)|{x)^2+4(y)^2leqslant 1}
设积分区域 
则
题目解答
答案
已知原积分式为
，由二重积分性质知，
即为积分区域
的面积，即为
.
对于积分区域 ，其实是椭圆曲线
，其中
所围成的面积，由椭圆面积公式得
.
故
综上，知本题答案选D.
解析
步骤 1：理解积分区域
积分区域 $D=\{ (x,y)|{x}^{2}+4{y}^{2}\leqslant 1\}$ 描述的是一个椭圆区域，其中 $x^2$ 的系数为 1，$y^2$ 的系数为 4，因此椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上。椭圆的半长轴为 1，半短轴为 1/2。
步骤 2：计算椭圆面积
椭圆的面积公式为 $S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。对于本题，$a = 1$，$b = \frac{1}{2}$，因此椭圆的面积为 $S = \pi \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi$。
步骤 3：计算二重积分
题目中的二重积分 ${\iint }_{D}^{2d}{x}_{2dx}=0$ 实际上是计算积分区域 $D$ 的面积，因为 $2d\sigma$ 表示面积微元，所以积分结果就是椭圆的面积。因此，${\iint }_{D}^{2d}{x}_{2dx}=0$ 的值为 $\frac{1}{2}\pi$ 的两倍，即 $\pi$。
积分区域 $D=\{ (x,y)|{x}^{2}+4{y}^{2}\leqslant 1\}$ 描述的是一个椭圆区域，其中 $x^2$ 的系数为 1，$y^2$ 的系数为 4，因此椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上。椭圆的半长轴为 1，半短轴为 1/2。
步骤 2：计算椭圆面积
椭圆的面积公式为 $S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。对于本题，$a = 1$，$b = \frac{1}{2}$，因此椭圆的面积为 $S = \pi \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi$。
步骤 3：计算二重积分
题目中的二重积分 ${\iint }_{D}^{2d}{x}_{2dx}=0$ 实际上是计算积分区域 $D$ 的面积，因为 $2d\sigma$ 表示面积微元，所以积分结果就是椭圆的面积。因此，${\iint }_{D}^{2d}{x}_{2dx}=0$ 的值为 $\frac{1}{2}\pi$ 的两倍，即 $\pi$。