题目

7.求极限lim_(xto0)(sqrt(1+xsin x)-cos2x)/(xtan x).

7.求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos2x}{x\tan x}$.

题目解答

答案

将原极限拆分为两部分： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - \cos 2x}{x \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - 1}{x \tan x} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \tan x} \] 利用等价无穷小： - $\sqrt{1 + x \sin x} - 1 \sim \frac{x \sin x}{2} \sim \frac{x^2}{2}$， - $1 - \cos 2x \sim 2 \sin^2 x \sim 2x^2$， - $x \tan x \sim x^2$。 代入得： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{5}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小进行化简的能力，以及合理拆分表达式简化计算的技巧。

解题核心思路：

  1. 拆分分子：将分子拆分为两个部分，分别处理，使得每部分均可利用等价无穷小替换。
  2. 等价无穷小替换：对每个部分的分子和分母分别应用等价无穷小，简化表达式。
  3. 极限求和：分别计算拆分后的两个极限，再将结果相加。

破题关键点：

  • 识别等价无穷小形式：如$\sqrt{1+a}-1 \sim \frac{a}{2}$（当$a \to 0$），$1-\cos 2x \sim 2x^2$，$\tan x \sim x$。
  • 合理拆分表达式：通过拆分将复杂分子转化为两个可独立处理的部分。

步骤1：拆分分子
将原极限拆分为两部分：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - \cos 2x}{x \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - 1}{x \tan x} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \tan x}$

步骤2：应用等价无穷小替换

  1. 第一部分：

    • $\sqrt{1 + x \sin x} - 1 \sim \frac{x \sin x}{2} \sim \frac{x^2}{2}$（因$\sin x \sim x$）。
    • 分母$x \tan x \sim x^2$（因$\tan x \sim x$）。
    • 代入得：$\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$。

  2. 第二部分：

    • $1 - \cos 2x \sim 2x^2$。
    • 分母$x \tan x \sim x^2$。
    • 代入得：$\frac{2x^2}{x^2} = 2$。

步骤3：求和
将两部分结果相加：
$\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$