题目
一半径为R的半球面.均匀地带有电荷.电荷面密度为σ。求:球心O处的电场强度。
一半径为R的半球面.均匀地带有电荷.电荷面密度为σ。求:球心O处的电场强度。
题目解答
答案
解:将半球面看做无数带电圆环组成.每个圆环对场点产生dE,则
解析
步骤 1：确定电荷分布和场点
半球面均匀带电，电荷面密度为σ，场点位于球心O处。
步骤 2：将半球面分割成无数个带电圆环
每个圆环的半径为r，r = Rsinθ，其中θ是圆环中心到球心的连线与半球面底面的法线之间的夹角。每个圆环的宽度为Rdθ，因此每个圆环的面积为dS = 2πrRdθ = 2πR^2sinθdθ。
步骤 3：计算每个圆环在球心O处产生的电场强度
每个圆环的电荷量为dq = σdS = 2πσR^2sinθdθ。根据点电荷的电场公式，每个圆环在球心O处产生的电场强度为dE = k(dq/R^2)cosθ，其中k是库仑常数，cosθ是圆环中心到球心的连线与半球面底面的法线之间的夹角的余弦值。
步骤 4：积分求解总电场强度
将每个圆环在球心O处产生的电场强度进行积分，得到总电场强度E。由于电场强度的方向沿半球面底面的法线方向，因此只需考虑电场强度的大小。总电场强度为E = ∫dE = ∫(k(dq/R^2)cosθ) = ∫(k(2πσR^2sinθdθ/R^2)cosθ) = 2πkσ∫(sinθcosθdθ)。积分范围为θ从0到π/2。
步骤 5：计算积分结果
计算积分结果，得到E = 2πkσ∫(sinθcosθdθ) = 2πkσ[(1/2)sin^2θ]从0到π/2 = πkσ。
半球面均匀带电，电荷面密度为σ，场点位于球心O处。
步骤 2：将半球面分割成无数个带电圆环
每个圆环的半径为r，r = Rsinθ，其中θ是圆环中心到球心的连线与半球面底面的法线之间的夹角。每个圆环的宽度为Rdθ，因此每个圆环的面积为dS = 2πrRdθ = 2πR^2sinθdθ。
步骤 3：计算每个圆环在球心O处产生的电场强度
每个圆环的电荷量为dq = σdS = 2πσR^2sinθdθ。根据点电荷的电场公式，每个圆环在球心O处产生的电场强度为dE = k(dq/R^2)cosθ，其中k是库仑常数，cosθ是圆环中心到球心的连线与半球面底面的法线之间的夹角的余弦值。
步骤 4：积分求解总电场强度
将每个圆环在球心O处产生的电场强度进行积分，得到总电场强度E。由于电场强度的方向沿半球面底面的法线方向，因此只需考虑电场强度的大小。总电场强度为E = ∫dE = ∫(k(dq/R^2)cosθ) = ∫(k(2πσR^2sinθdθ/R^2)cosθ) = 2πkσ∫(sinθcosθdθ)。积分范围为θ从0到π/2。
步骤 5：计算积分结果
计算积分结果，得到E = 2πkσ∫(sinθcosθdθ) = 2πkσ[(1/2)sin^2θ]从0到π/2 = πkσ。