题目

(1)函数 (x)=|x|dfrac (1)((1-x)(x-2)) 的第一类间断点的个数是 ()-|||-(A)3 (B)2-|||-(C) 1 (D)0

题目解答

答案

本题考查的知识点为第一类间断点的定义.函数f(x)在点 $x_%7B0%7D$ 处间断，如果单侧极限 $f%28x_%7B0%7D%5E%7B-%7D%29$ 及 $f%28x_%7B0%7D%5E%7B%2B%7D%29$ 都存在则 $x%3Dx_%7B0%7D$ 称为第一类间断点；如果 $f%28x_%7B0%7D%5E%7B-%7D%29$ 及 $f%28x_%7B0%7D%5E%7B%2B%7D%29$ 中有一个不存在，则 $x%3Dx_%7B0%7D$ 称为第二类间断点.由于 $f%28x%29%3D%7Cx%7C%281-x-x%28x-2%29%29%3D%7Cx%7C%281-x-x%5E%7B2%7D%2B2x%29%3D%7Cx%7C%283x-x%5E%7B2%7D-1%29$ ，可知f(x)在x=0，x=3± $%5Csqrt%20%7B7%7D$ 处无定义，又因为 $lim_%28x$ →(3+ $%5Csqrt%20%7B7%7D%29%5E%7B-%7D%29f%28x%29%3Dlim_%28x$ →(3+ $%5Csqrt%20%7B7%7D%29%5E%7B-%7D%29%7Cx%7C%283x-x%5E%7B2%7D-1%29%3D$ ∞，所以x=3+ $%5Csqrt%20%7B7%7D$ 是f(x)的第二类间断点； $lim_%28x$ →(3- $%5Csqrt%20%7B7%7D%29%5E%7B-%7D%29f%28x%29%3Dlim_%28x$ →(3- $%5Csqrt%20%7B7%7D%29%5E%7B-%7D%29%7Cx%7C%283x-x%5E%7B2%7D-1%29%3D0$ ， $lim_%28x$ →(3- $%5Csqrt%20%7B7%7D%29%5E%7B%2B%7D%29f%28x%29%3Dlim_%28x$ →(3- $%5Csqrt%20%7B7%7D%29%5E%7B%2B%7D%29%7Cx%7C%283x-x%5E%7B2%7D-1%29%3D0$ ，所以x=3- $%5Csqrt%20%7B7%7D$ 是f(x)的第一类间断点； $lim_%28x$ → $0%5E%7B-%7D%29f%28x%29%3Dlim_%28x$ → $0%5E%7B-%7D%29%28-x%29%283x-x%5E%7B2%7D-1%29%3D1$ ， $lim_%28x$ → $0%5E%2B%29f%28x%29%3Dlim_%28x$ → $0%5E%2B%29x%283x-x%5E%7B2%7D-1%29%3D-1$ ，所以x=0是f(x)的第一类间断点.因此f(x)的第一类间断点有两个，故应选(B).本题求解的关键在于弄清第一类间断点的定义，只要清楚了定义，问题就解决了.