【2025年数学二真题，第16题】设矩阵A=(a_(1),a_(2),a_(3),a_(4))，若a_(1),a_(2),a_(3)线性无关，且a_(1)+a_(2)=a_(3)+a_(4)，则方程组Ax=a_(1)+4a_(4)的通解为x=____.

考查要点：本题主要考查线性方程组的通解求解，涉及向量组的线性相关性、非齐次方程组解的结构等知识点。

解题核心思路：

1. 利用已知条件简化方程：通过已知条件$a_1 + a_2 = a_3 + a_4$，将$a_4$用$a_1, a_2, a_3$表示，代入方程组$Ax = a_1 + 4a_4$，转化为仅含$a_1, a_2, a_3$的方程。
2. 利用线性无关性建立方程组：根据$a_1, a_2, a_3$线性无关，其系数对应相等，得到关于$x_1, x_2, x_3, x_4$的线性方程组。
3. 求通解：通过引入自由变量，写出通解的特解与齐次解的组合形式。

破题关键点：

• 将$a_4$用$a_1, a_2, a_3$表示，简化方程组。
• 利用线性无关性建立系数方程，并解出变量间的关系。
• 确定自由变量，构造通解形式。

步骤1：表达$a_4$并代入方程
由条件$a_1 + a_2 = a_3 + a_4$，得：
$a_4 = a_1 + a_2 - a_3.$
将$a_4$代入方程组$Ax = a_1 + 4a_4$，得：
$Ax = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3.$

步骤2：展开方程并整理
设$x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$，则：
$x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3.$
将$a_4 = a_1 + a_2 - a_3$代入，整理得：
$(x_1 + x_4)a_1 + (x_2 + x_4)a_2 + (x_3 - x_4)a_3 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3.$

步骤3：利用线性无关性建立方程组
由于$a_1, a_2, a_3$线性无关，系数对应相等：
$\begin{cases}x_1 + x_4 = 5, \\x_2 + x_4 = 4, \\x_3 - x_4 = -4.\end{cases}$

步骤4：解方程组并写出通解
设$x_4 = k$（自由变量），则：
$\begin{cases}x_1 = 5 - k, \\x_2 = 4 - k, \\x_3 = -4 + k, \\x_4 = k.\end{cases}$
通解为：
$x = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad (k \text{为任意常数}).$
（若选择其他特解形式，如$x_4 = 1$，则特解为$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$，但齐次解部分不变。）