计算不定积分int ln (1+sqrt (dfrac {1+x)(x)})dx(xgt 0)..

步骤 1：代换
令$t = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$，则$t^2 = \frac{1+x}{x}$，从而$x = \frac{1}{t^2-1}$，$dx = -\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$。
步骤 2：代入
将$x$和$dx$的表达式代入原积分，得到$\int \ln(1+t) \cdot -\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设$u = \ln(1+t)$，$dv = -\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$，则$du = \frac{1}{1+t}dt$，$v = \frac{1}{t^2-1}$。
步骤 4：计算
$\int \ln(1+t) \cdot -\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt = \ln(1+t) \cdot \frac{1}{t^2-1} - \int \frac{1}{t^2-1} \cdot \frac{1}{1+t}dt$。
步骤 5：简化
$\int \frac{1}{(t^2-1)(1+t)}dt$可以分解为$\int \frac{1}{(t-1)(t+1)^2}dt$，使用部分分式分解法，得到$\int \frac{1}{2(t-1)} - \frac{1}{2(t+1)} - \frac{1}{(t+1)^2}dt$。
步骤 6：积分
$\int \frac{1}{2(t-1)} - \frac{1}{2(t+1)} - \frac{1}{(t+1)^2}dt = \frac{1}{2}\ln|t-1| - \frac{1}{2}\ln|t+1| + \frac{1}{t+1} + C$。
步骤 7：回代
将$t = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$代入，得到$\frac{\ln(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})}{\frac{1+x}{x}-1} + \frac{1}{2}\ln|\sqrt{\frac{1+x}{x}}-1| - \frac{1}{2}\ln|\sqrt{\frac{1+x}{x}}+1| + \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{x}}+1} + C$。