(2023.高数 I) 求过两点A(1,0,-4)和B(3,1,-2)且与直线(x-1)/(3)=(y+2)/(-1)=(z)/(2)平行的平面方程.

考查要点：本题主要考查平面方程的求解方法，涉及向量叉乘的应用及平面法向量的确定。

解题核心思路：

1. 确定平面中的两个方向向量：利用已知两点A、B确定向量$\overrightarrow{AB}$，并提取给定直线的方向向量$\mathbf{l}$。
2. 计算平面法向量：通过向量$\overrightarrow{AB}$与$\mathbf{l}$的叉乘得到平面法向量$\mathbf{n}$。
3. 代入点求平面方程：选择点A代入平面方程的一般形式，展开整理即可。

破题关键点：

• 平面与直线平行的条件转化为：直线的方向向量与平面中的向量$\overrightarrow{AB}$均在平面内，因此法向量需与两者均垂直。

步骤1：求向量$\overrightarrow{AB}$和直线方向向量$\mathbf{l}$

• 向量$\overrightarrow{AB}$：由点$A(1,0,-4)$到点$B(3,1,-2)$的坐标差为：
  $\overrightarrow{AB} = (3-1, 1-0, -2-(-4)) = (2, 1, 2).$
• 直线方向向量$\mathbf{l}$：由直线方程$\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$可直接读出方向向量为：
  $\mathbf{l} = (3, -1, 2).$

步骤2：计算平面法向量$\mathbf{n}$

平面法向量$\mathbf{n}$需同时垂直于$\overrightarrow{AB}$和$\mathbf{l}$，因此通过叉乘计算：
$\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \mathbf{l} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\2 & 1 & 2 \\3 & -1 & 2\end{vmatrix} = (4, 2, -5).$

步骤3：代入点A求平面方程

平面方程的一般形式为：
$4(x - 1) + 2(y - 0) - 5(z + 4) = 0.$
展开整理得：
$4x + 2y - 5z - 24 = 0.$