练习 已知A是三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，如果A，A-2E，3A+2E均不可逆，则|A+E|=_____.

考查要点：本题主要考查矩阵的不可逆性与特征值的关系，以及行列式的性质。关键在于利用不可逆条件确定矩阵的特征值，进而求解相关矩阵的行列式。

解题思路：

1. 不可逆条件转化为行列式为零：由题意，$A$、$A-2E$、$3A+2E$均不可逆，即它们的行列式均为零。
2. 特征值分析：根据行列式为零的条件，分别得出$A$的特征值为$0$、$2$、$-\frac{2}{3}$。
3. 矩阵变换后的特征值：$A+E$的特征值是$A$的特征值加$1$，最终通过特征值乘积计算行列式。

步骤1：分析不可逆条件

1. $A$不可逆：$|A|=0$，说明$A$有一个特征值为$0$。
2. $A-2E$不可逆：$|A-2E|=0$，说明$A$有一个特征值为$2$。
3. $3A+2E$不可逆：
   $|3A+2E|=0 \implies 3^3 \left| A + \frac{2}{3}E \right| = 0 \implies \left| A + \frac{2}{3}E \right| = 0$
   说明$A$有一个特征值为$-\frac{2}{3}$。

步骤2：确定$A+E$的特征值

$A$的特征值为$0$、$2$、$-\frac{2}{3}$，则$A+E$的特征值为：

• $0 + 1 = 1$
• $2 + 1 = 3$
• $-\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$

步骤3：计算行列式

矩阵行列式等于特征值的乘积：
$|A+E| = 1 \times 3 \times \frac{1}{3} = 1$