2.设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) x, 0leqslant xlt 1 2-x, 1leqslant xlt 2 0, .-|||-求X的分布函数.

步骤 1：确定分布函数的定义
分布函数 $F(x)$ 定义为 $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)du$，其中 $f(u)$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数。

步骤 2：分段计算分布函数
根据题目中给出的概率密度函数 $f(x)$，我们需要分段计算分布函数 $F(x)$。
- 当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$，因为 $f(x)$ 在 $x < 0$ 时为 $0$。
- 当 $0 \leq x < 1$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)du = \int_{0}^{x} u du$。
- 当 $1 \leq x < 2$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)du = \int_{0}^{1} u du + \int_{1}^{x} (2-u) du$。
- 当 $x \geq 2$ 时，$F(x) = 1$，因为 $f(x)$ 在 $x \geq 2$ 时为 $0$，且 $F(x)$ 在 $x \geq 2$ 时达到最大值 $1$。

步骤 3：计算各段的积分
- 当 $0 \leq x < 1$ 时，$F(x) = \int_{0}^{x} u du = \frac{1}{2}x^2$。
- 当 $1 \leq x < 2$ 时，$F(x) = \int_{0}^{1} u du + \int_{1}^{x} (2-u) du = \frac{1}{2} + \left[2u - \frac{1}{2}u^2\right]_{1}^{x} = \frac{1}{2} + 2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$。