题目

设f（x）=underset(lim)(n→∞)(1+x)/(1+(x)^2n)，求f（x）的间断点，并说明间断点所属类型．

设f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+x}{1+{x}^{2n}}$，求f（x）的间断点，并说明间断点所属类型．

题目解答

答案

解：当x=1或0时，f（x）=1，
当x=-1时，f（x）=0，
当0＜|x|＜1时，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+x}{1+{x}^{2n}}$=1+x，
当|x|＞1时，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+x}{1+{x}^{2n}}$=0；
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x≤-1或x＞1}\\{1+x，-1＜x＜1}\\{1，x=1}\end{array}\right.$，
故f（x）的间断点为x=1，为跳跃间断点．

解析

考查要点：本题主要考查分段函数的极限求解及间断点类型的判断。关键在于分析不同区间内极限的表达式，并结合函数在特定点的定义判断连续性。

解题思路：

  1. 分区间讨论：根据$x^{2n}$的极限行为，将$x$分为$|x|<1$、$|x|=1$、$|x|>1$三种情况。
  2. 求极限表达式：分别计算各区间内$\lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}}$的值。
  3. 判断连续性：比较函数在分界点$x=1$和$x=-1$处的左右极限与函数值，确定是否存在间断点及其类型。

破题关键：

  • 极限行为的判断：当$|x|<1$时$x^{2n} \to 0$，当$|x|>1$时$x^{2n} \to +\infty$，当$|x|=1$时$x^{2n}=1$。
  • 分界点分析：特别关注$x=1$和$x=-1$处的左右极限与函数值的关系。

分区间讨论极限

  1. 当$|x| < 1$时：

    • $x^{2n} \to 0$，分母$1+x^{2n} \to 1$，分子$1+x$不变。
    • 极限值为$\frac{1+x}{1} = 1+x$。

  2. 当$|x| > 1$时：

    • $x^{2n} \to +\infty$，分母$1+x^{2n} \to +\infty$，整体趋向于$0$。

  3. 当$x=1$时：

    • 分母$1+1^{2n}=2$，分子$1+1=2$，极限值为$\frac{2}{2}=1$。

  4. 当$x=-1$时：

    • 分母$1+(-1)^{2n}=2$，分子$1+(-1)=0$，极限值为$\frac{0}{2}=0$。

函数表达式分段

  • $x \leq -1$或$x > 1$：$f(x)=0$。
  • $-1 < x < 1$：$f(x)=1+x$。
  • $x=1$：$f(1)=1$。

间断点分析

  1. $x=1$处：

    • 左极限（$x \to 1^-$）：$1+x \to 2$。
    • 右极限（$x \to 1^+$）：$0$。
    • 函数值：$f(1)=1$。
    • 结论：左右极限不相等且均不等于函数值，存在跳跃间断点。

  2. $x=-1$处：

    • 左极限（$x \to -1^-$）：$0$（属于$|x|>1$区间）。
    • 右极限（$x \to -1^+$）：$1+x \to 0$。
    • 函数值：$f(-1)=0$。
    • 结论：左右极限与函数值相等，连续无间断。