3-25 一质量为m的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在水平面上.此质点在粗-|||-糙水平面上作半径为r的圆周运动.设质点的最初速率是v0,当运动一周时,其速率为 _(0)/2.-|||-求:(1)摩擦力做的功;(2)动摩擦因数;(3)在静止以前质点运动了多少圈?

考查要点：本题主要考查动能定理的应用、动摩擦因数的计算以及匀减速运动的圈数问题。
解题核心思路：

1. 摩擦力做功：利用动能定理，摩擦力做的功等于动能的变化。
2. 动摩擦因数：通过摩擦力做功的表达式与动能变化联立求解。
3. 运动圈数：将总动能按每次转一圈消耗的动能分段计算，注意最后不足一圈的情况。
   破题关键点：

• 摩擦力恒定：动摩擦力大小为 $\mu mg$，每圈路程固定为 $2\pi r$。
• 动能分段消耗：每次转一圈动能减少量相同，总圈数需包含整数圈和剩余部分。

(1) 摩擦力做的功

关键思路：根据动能定理，摩擦力做的功等于动能的变化。
初始动能为 $\frac{1}{2}mv_0^2$，转一圈后动能为 $\frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}mv_0^2$。
动能变化为：
$\Delta E_k = \frac{1}{8}mv_0^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{3}{8}mv_0^2$
因此，摩擦力做的功为：
$W = -\frac{3}{8}mv_0^2$

(2) 动摩擦因数

关键思路：摩擦力做功也可表示为 $W = -f \cdot s$，其中 $f = \mu mg$，路程 $s = 2\pi r$。
联立 $-\mu mg \cdot 2\pi r = -\frac{3}{8}mv_0^2$，解得：
$\mu = \frac{3v_0^2}{16\pi rg}$

(3) 运动圈数

关键思路：总动能 $\frac{1}{2}mv_0^2$ 按每次转一圈消耗 $\frac{3}{8}mv_0^2$ 分段计算。
总圈数为：
$n = \frac{\frac{1}{2}mv_0^2}{\frac{3}{8}mv_0^2} = \frac{4}{3} \text{圈}$