题目
7.已知实二次型f(x1,x2 ,(x)_(3))=9({x)_(1)}^2+2({x)_(2)}^2+({x)_(3)}^2+2lambda (x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(2)(x)_(3) 为正定二次型,则参数λ的取值范围-|||-是 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：二次型的矩阵表示
二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 9x_1^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 2\lambda x_1x_2 + 2x_2x_3$ 可以表示为矩阵形式 $f(x) = x^T A x$，其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$A$ 是二次型的矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
9 & \lambda & 0 \\
\lambda & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：正定矩阵的条件
二次型 $f(x)$ 为正定二次型的充分必要条件是矩阵 $A$ 为正定矩阵。一个矩阵为正定矩阵的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于零。因此，我们需要计算矩阵 $A$ 的顺序主子式，并确保它们都大于零。
步骤 3：计算顺序主子式
矩阵 $A$ 的顺序主子式为：
$$
\begin{aligned}
D_1 &= 9 > 0 \\
D_2 &= \begin{vmatrix}
9 & \lambda \\
\lambda & 2
\end{vmatrix} = 18 - \lambda^2 > 0 \\
D_3 &= \begin{vmatrix}
9 & \lambda & 0 \\
\lambda & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 9(2 - 1) - \lambda(\lambda - 1) = 9 - \lambda^2 + \lambda > 0
\end{aligned}
$$
根据 $D_2 > 0$，我们得到 $18 - \lambda^2 > 0$，即 $-3 < \lambda < 3$。根据 $D_3 > 0$，我们得到 $9 - \lambda^2 + \lambda > 0$，即 $\lambda^2 - \lambda - 9 < 0$。由于 $D_1 > 0$ 已经满足，因此我们只需要考虑 $D_2 > 0$ 和 $D_3 > 0$ 的条件。
步骤 4：确定参数λ的取值范围
根据 $D_2 > 0$，我们得到 $-3 < \lambda < 3$。根据 $D_3 > 0$，我们得到 $\lambda^2 - \lambda - 9 < 0$。由于 $D_3 > 0$ 的条件已经包含在 $D_2 > 0$ 的条件中，因此我们只需要考虑 $D_2 > 0$ 的条件。因此，参数 $\lambda$ 的取值范围为 $-3 < \lambda < 3$。
二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 9x_1^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 2\lambda x_1x_2 + 2x_2x_3$ 可以表示为矩阵形式 $f(x) = x^T A x$，其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$A$ 是二次型的矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
9 & \lambda & 0 \\
\lambda & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：正定矩阵的条件
二次型 $f(x)$ 为正定二次型的充分必要条件是矩阵 $A$ 为正定矩阵。一个矩阵为正定矩阵的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于零。因此，我们需要计算矩阵 $A$ 的顺序主子式，并确保它们都大于零。
步骤 3：计算顺序主子式
矩阵 $A$ 的顺序主子式为：
$$
\begin{aligned}
D_1 &= 9 > 0 \\
D_2 &= \begin{vmatrix}
9 & \lambda \\
\lambda & 2
\end{vmatrix} = 18 - \lambda^2 > 0 \\
D_3 &= \begin{vmatrix}
9 & \lambda & 0 \\
\lambda & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 9(2 - 1) - \lambda(\lambda - 1) = 9 - \lambda^2 + \lambda > 0
\end{aligned}
$$
根据 $D_2 > 0$，我们得到 $18 - \lambda^2 > 0$，即 $-3 < \lambda < 3$。根据 $D_3 > 0$，我们得到 $9 - \lambda^2 + \lambda > 0$，即 $\lambda^2 - \lambda - 9 < 0$。由于 $D_1 > 0$ 已经满足，因此我们只需要考虑 $D_2 > 0$ 和 $D_3 > 0$ 的条件。
步骤 4：确定参数λ的取值范围
根据 $D_2 > 0$，我们得到 $-3 < \lambda < 3$。根据 $D_3 > 0$，我们得到 $\lambda^2 - \lambda - 9 < 0$。由于 $D_3 > 0$ 的条件已经包含在 $D_2 > 0$ 的条件中，因此我们只需要考虑 $D_2 > 0$ 的条件。因此，参数 $\lambda$ 的取值范围为 $-3 < \lambda < 3$。