5 基础题 函数f(x)=sin(pi x)/(2(1+x^2))的值域是（）.A. [-1,1]B. [0,1]C. [-(sqrt(2))/(2),(sqrt(2))/(2)]D. [-(1)/(2),(1)/(2)]

考查要点：本题主要考查复合函数的值域求解，涉及分式函数的极值求解及正弦函数的性质。

解题核心思路：

1. 确定内部函数的取值范围：分析分式$\frac{\pi x}{2(1+x^2)}$的极值，找到其最大值和最小值。
2. 结合正弦函数的性质：根据内部函数的取值范围，确定$\sin(\text{内部函数})$的值域。

破题关键点：

• 分式极值求解：通过求导或不等式分析，确定$\frac{x}{1+x^2}$的取值范围为$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$。
• 正弦函数单调性：在区间$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$内，正弦函数单调递增，直接取到端点值。

分析内部函数$\frac{\pi x}{2(1+x^2)}$

1. 简化分式：令$g(x) = \frac{x}{1+x^2}$，则原分式为$\frac{\pi}{2}g(x)$。
2. 求导找极值：
   • $g'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$，令$g'(x)=0$得$x=1$或$x=-1$。
   • 计算极值：$g(1)=\frac{1}{2}$，$g(-1)=-\frac{1}{2}$。
3. 确定范围：当$x \to \pm\infty$时，$g(x) \to 0$，故$g(x) \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$。
4. 原分式范围：$\frac{\pi x}{2(1+x^2)} \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$。

结合正弦函数性质

• 在区间$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$内，$\sin\theta$单调递增，最大值为$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
• 因此，函数$f(x)$的值域为$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。