题目
3【单选题】二元函数f(x,y)=}(x^2+y^2)sin(1)/(sqrt(x^2)+y^(2)),(x,y)neq(0,0)0,(x,y)=(0,0)在点(0,0)处（）A. 连续B. 不连续
3【单选题】
二元函数$f(x,y)=\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}$在点(0,0)处（）
A. 连续
B. 不连续
题目解答
答案
A. 连续
解析
步骤 1：分析函数在点(0,0)处的定义
函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处定义为$f(0,0)=0$，在其他点$(x,y)\neq(0,0)$处定义为$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。
步骤 2：计算极限$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$
当$(x,y)\to(0,0)$时，考虑函数值$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。由于$\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$的值域为$[-1,1]$，有：
\[ -(x^{2}+y^{2}) \leq f(x,y) \leq x^{2}+y^{2} \]
当$(x,y)\to(0,0)$时，$x^{2}+y^{2}\to0$，由夹逼定理得：
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0) \]
步骤 3：判断函数在点(0,0)处的连续性
由于$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$，函数在点$(0,0)$处连续。
函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处定义为$f(0,0)=0$，在其他点$(x,y)\neq(0,0)$处定义为$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。
步骤 2：计算极限$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$
当$(x,y)\to(0,0)$时，考虑函数值$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。由于$\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$的值域为$[-1,1]$，有：
\[ -(x^{2}+y^{2}) \leq f(x,y) \leq x^{2}+y^{2} \]
当$(x,y)\to(0,0)$时，$x^{2}+y^{2}\to0$，由夹逼定理得：
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0) \]
步骤 3：判断函数在点(0,0)处的连续性
由于$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$，函数在点$(0,0)$处连续。