lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt [3]{x)-1}(sqrt {x)-1}=.

考查要点：本题主要考查根式极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式极限的能力。关键在于通过变量替换将根式表达式转化为多项式形式，便于因式分解和约分。

解题核心思路：

1. 变量替换：令$t = \sqrt[6]{x}$（即$x = t^6$），将分子$\sqrt[3]{x}-1$和分母$\sqrt{x}-1$分别转化为关于$t$的多项式。
2. 因式分解：利用平方差、立方差公式对分子和分母进行因式分解，约去公因式$(t-1)$。
3. 代入求值：直接代入$t=1$计算最终结果。

变量替换：
令$t = \sqrt[6]{x}$，则当$x \rightarrow 1$时，$t \rightarrow 1$。此时：

• $\sqrt[3]{x} = t^2$（因为$\sqrt[3]{t^6} = t^2$），
• $\sqrt{x} = t^3$（因为$\sqrt{t^6} = t^3$）。

原式可转化为：
$\lim _{t\rightarrow 1}\dfrac{t^2 - 1}{t^3 - 1}$

因式分解：

1. 分子：$t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$
2. 分母：$t^3 - 1 = (t-1)(t^2 + t + 1)$

约去公因式$(t-1)$后，表达式简化为：
$\lim _{t\rightarrow 1}\dfrac{t+1}{t^2 + t + 1}$

代入求值：
将$t=1$代入化简后的表达式：
$\dfrac{1+1}{1^2 + 1 + 1} = \dfrac{2}{3}$