(5) lim _(xarrow infty )((dfrac {3+x)(6+x))}^dfrac (x-1{2)}

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是涉及指数函数的极限求解方法。需要掌握重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$的变形应用，以及对数化简和变量替换的技巧。

解题核心思路：

1. 将底数转化为$1 + \frac{a}{x}$的形式，便于应用重要极限公式。
2. 对指数进行变形，使其与底数中的分母关联，构造出重要极限的形式。
3. 利用自然对数的性质，将指数运算转化为乘法，简化极限计算。

破题关键点：

• 识别底数的变形方向，将$\frac{3+x}{6+x}$改写为$1 - \frac{3}{6+x}$。
• 变量替换，令$t = 6 + x$，将原式转化为重要极限的形式。
• 处理指数中的变量关系，通过近似展开或洛必达法则求解极限。

步骤1：变形底数
将底数$\frac{3+x}{6+x}$改写为：
$\frac{3+x}{6+x} = 1 - \frac{3}{6+x}$
此时原式变为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$

步骤2：变量替换
令$t = 6 + x$，当$x \to \infty$时，$t \to \infty$，且$x = t - 6$。代入原式得：
$\lim_{t \to \infty} \left(1 - \frac{3}{t}\right)^{\frac{(t - 6) - 1}{2}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 - \frac{3}{t}\right)^{\frac{t - 7}{2}}$

步骤3：构造重要极限形式
将表达式拆分为重要极限的乘积形式：
$\left[\left(1 - \frac{3}{t}\right)^t\right]^{\frac{t - 7}{2t}}$
当$t \to \infty$时，$\left(1 - \frac{3}{t}\right)^t \to e^{-3}$，因此原式变为：
$\left(e^{-3}\right)^{\lim_{t \to \infty} \frac{t - 7}{2t}} = e^{-3 \cdot \lim_{t \to \infty} \frac{t - 7}{2t}}$

步骤4：计算指数部分的极限
$\lim_{t \to \infty} \frac{t - 7}{2t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 - \frac{7}{t}}{2} = \frac{1}{2}$
因此，最终结果为：
$e^{-3 \cdot \frac{1}{2}} = e^{-\frac{3}{2}}$