题目
做一个容积为300m^3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍.问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?
做一个容积为$$300m^3$$的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍.问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?
题目解答
答案
设底部半径为r,高为h,周围单位造价为m，池底单位造价为2m，根据容积计算公式可得$$\pi r^2h=300$$，则$$h=\frac{300}{\pi r^2}$$，总造价$$w=2\pi mr^2+2\pi rh\cdot m$$$$=2\pi mr^2+2m\pi r\frac{300}{\pi r^2}$$$$=2\pi mr^2+ \frac{600m}{ r }$$，$$w'=4\pi mr - \frac{600m}{ r^2 }$$，令$$w'=0$$，则$$4\pi mr - \frac{600m}{ r^2 } =0$$，解得$$r^3=\frac{150}{\pi}$$，$$r =\root 3 \of {\frac{150}{\pi}}$$，故底面半径为$$\root 3 \of {\frac{150}{\pi}}$$$$m$$，高为$$\frac{300}{\pi ( \frac{150}{\pi} )^\frac{2}{3} }=2\root 3 \of { \frac{150}{\pi} }$$$$m$$
解析
步骤 1：定义变量
设底部半径为$$r$$，高为$$h$$，周围单位造价为$$m$$，池底单位造价为$$2m$$。
步骤 2：建立容积方程
根据容积计算公式，有$$\pi r^2h=300$$，则$$h=\frac{300}{\pi r^2}$$。
步骤 3：建立总造价方程
总造价$$w=2\pi mr^2+2\pi rh\cdot m$$，代入$$h$$的表达式，得$$w=2\pi mr^2+2m\pi r\frac{300}{\pi r^2}$$，化简得$$w=2\pi mr^2+ \frac{600m}{ r }$$。
步骤 4：求导数
对总造价$$w$$关于$$r$$求导，得$$w'=4\pi mr - \frac{600m}{ r^2 }$$。
步骤 5：求导数为0的点
令$$w'=0$$，则$$4\pi mr - \frac{600m}{ r^2 } =0$$，解得$$r^3=\frac{150}{\pi}$$，$$r =\root 3 \of {\frac{150}{\pi}}$$。
步骤 6：计算高
代入$$r$$的值，得$$h=\frac{300}{\pi ( \frac{150}{\pi} )^\frac{2}{3} }=2\root 3 \of { \frac{150}{\pi} }$$。
设底部半径为$$r$$，高为$$h$$，周围单位造价为$$m$$，池底单位造价为$$2m$$。
步骤 2：建立容积方程
根据容积计算公式，有$$\pi r^2h=300$$，则$$h=\frac{300}{\pi r^2}$$。
步骤 3：建立总造价方程
总造价$$w=2\pi mr^2+2\pi rh\cdot m$$，代入$$h$$的表达式，得$$w=2\pi mr^2+2m\pi r\frac{300}{\pi r^2}$$，化简得$$w=2\pi mr^2+ \frac{600m}{ r }$$。
步骤 4：求导数
对总造价$$w$$关于$$r$$求导，得$$w'=4\pi mr - \frac{600m}{ r^2 }$$。
步骤 5：求导数为0的点
令$$w'=0$$，则$$4\pi mr - \frac{600m}{ r^2 } =0$$，解得$$r^3=\frac{150}{\pi}$$，$$r =\root 3 \of {\frac{150}{\pi}}$$。
步骤 6：计算高
代入$$r$$的值，得$$h=\frac{300}{\pi ( \frac{150}{\pi} )^\frac{2}{3} }=2\root 3 \of { \frac{150}{\pi} }$$。