已知函数 f(x)在 (0,+infty ) 内可导, (x)gt 0, lim _(xarrow +infty )f(x)=1, 且满足 lim _(harrow 0)([ dfrac {f(x+hx))(f(x))] }^dfrac (1{n)}-|||-=(e)^dfrac (1{x)}, 求 f(x)所满足的方程.

考查要点：本题主要考查利用导数的定义处理极限问题，以及求解微分方程的能力。关键在于将给定的极限表达式转化为导数形式，进而建立微分方程。

解题思路：

1. 识别极限结构：题目中的极限形式与导数定义相似，需通过变量替换或变形将其转化为导数表达式。
2. 对数变换简化运算：通过对数将乘积转化为加法，简化极限运算。
3. 建立微分方程：通过极限与导数的关系，得到关于$f(x)$的微分方程。
4. 求解微分方程：分离变量积分，并利用极限条件确定常数。

破题关键：

• 导数定义的灵活应用：增量为$h x$时，需注意链式法则的应用。
• 极限条件的应用：当$x \to +\infty$时，$f(x) \to 1$用于确定积分常数。

步骤1：设定变量并取对数
设极限表达式为$y = \left[ \dfrac{f(x+h x)}{f(x)} \right]^{\frac{1}{h}}$，取自然对数得：
$\ln y = \dfrac{1}{h} \ln \dfrac{f(x+h x)}{f(x)}.$

步骤2：计算极限
当$h \to 0$时，利用导数定义：
$\lim_{h \to 0} \ln y = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln f(x+h x) - \ln f(x)}{h} = x \cdot \dfrac{d}{dx} (\ln f(x)).$

步骤3：建立方程
根据题意，$\lim_{h \to 0} y = e^{\frac{1}{x}}$，因此：
$e^{x \cdot (\ln f(x))'} = e^{\frac{1}{x}} \implies x \cdot (\ln f(x))' = \dfrac{1}{x}.$

步骤4：求解微分方程
分离变量积分：
$(\ln f(x))' = \dfrac{1}{x^2} \implies \ln f(x) = -\dfrac{1}{x} + C.$
因此：
$f(x) = C e^{-\frac{1}{x}}.$

步骤5：确定常数$C$
当$x \to +\infty$时，$e^{-\frac{1}{x}} \to 1$，结合$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$得$C = 1$。