题目

设x1]-|||-X= x2 =[ (y)_(1),(y)_(2),... ,(y)_(n)] -|||-xn，请问YX=XY，正确吗？对错

设 $\text{}X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\quad Y=\begin{bmatrix}y_1,&y_2,&\cdots,&y_n\end{bmatrix}$ ，请问YX=XY，正确吗？

题目解答

答案

解：根据题意可得 $XY=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1,y_2,\cdots,y_n\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}x_1y_1&x_1y_2&\cdots&x_1y_n\\x_2y_1&x_2y_2&\cdots&x_2y_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_ny_1&x_ny_2&\cdots&x_ny_n\end{bmatrix}$ ；

$YX=\begin{bmatrix}y_1,y_2,\cdots,y_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$

$=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

进而可以判断出 $YX\ne XY$ ,

故答案为错。

解析

步骤 1：定义向量
定义向量$X=[x_1, x_2, \cdots, x_n]^T$和$Y=[y_1, y_2, \cdots, y_n]$，其中$X$是一个列向量，$Y$是一个行向量。
步骤 2：计算$YX$
$YX$表示行向量$Y$与列向量$X$的乘积，根据矩阵乘法规则，$YX$是一个标量，其值为$Y$和$X$的点积，即$YX = y_1x_1 + y_2x_2 + \cdots + y_nx_n$。
步骤 3：计算$XY$
$XY$表示列向量$X$与行向量$Y$的乘积，根据矩阵乘法规则，$XY$是一个$n \times n$的矩阵，其$(i, j)$位置的元素为$x_iy_j$。
步骤 4：比较$YX$和$XY$
由于$YX$是一个标量，而$XY$是一个矩阵，因此$YX$和$XY$不相等。