1:将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数.-|||-(1) dfrac (ln (2-x))(z(x-1)), lt |z-1|lt 1 ;-|||-(2) dfrac (1)({z)^2((z)^2-dfrac (5)(2)z+1)} lt |z|lt dfrac (1)(2);-|||-(3) sin dfrac (1)(z-2) , lt |z-2|lt +infty ,

步骤 1：将函数 $\dfrac {\ln (2-x)}{z(x-1)}$ 在圆环 $0\lt |z-1|\lt 1$ 内展开为洛朗级数。
首先，我们注意到 $\ln(2-x)$ 可以在 $x=1$ 处展开为泰勒级数。由于 $0\lt |z-1|\lt 1$，我们可以将 $x$ 替换为 $z$，并利用 $\ln(2-z)$ 的泰勒级数展开。
步骤 2：将函数 $\dfrac {1}{{z}^{2}({z}^{2}-\dfrac {5}{2}z+1)}$ 在圆环 $0\lt |z|\lt \dfrac {1}{2}$ 内展开为洛朗级数。
首先，我们对分母进行因式分解，然后利用部分分式分解的方法将函数分解为更简单的部分，再分别展开为洛朗级数。
步骤 3：将函数 $\sin \dfrac {1}{z-2}$ 在圆环 $0\lt |z-2|\lt +\infty$ 内展开为洛朗级数。
由于 $\sin \dfrac {1}{z-2}$ 的洛朗级数展开是已知的，我们可以直接使用 $\sin x$ 的泰勒级数展开，并将 $x$ 替换为 $\dfrac {1}{z-2}$。