题目

12.计算题求二元函数f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极值.<|im_end|>求二元函数f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极值.

12.计算题 求二元函数$f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3x^{2}+3y^{2}-9x$的极值. <|im_end|> 求二元函数$f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3x^{2}+3y^{2}-9x$的极值.

题目解答

答案

求二元函数 $ f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x $ 的极值。

  1. 求偏导数并找驻点：
    $ f_x = 3x^2 + 6x - 9 = 0 $，解得 $ x = 1 $ 或 $ x = -3 $；
    $ f_y = -3y^2 + 6y = 0 $，解得 $ y = 0 $ 或 $ y = 2 $。
    驻点为 $(1, 0)$，$(1, 2)$，$(-3, 0)$，$(-3, 2)$。

  2. 二阶导数判别：
    $ f_{xx} = 6x + 6 $，$ f_{xy} = 0 $，$ f_{yy} = -6y + 6 $。

    • 点 $(1, 0)$：$ A = 12 $，$ B = 0 $，$ C = 6 $，$ D = AC - B^2 = 72 > 0 $，$ A > 0 $，为极小值，值为 $ f(1, 0) = -5 $。
    • 点 $(1, 2)$：$ D = -72 < 0 $，为鞍点。
    • 点 $(-3, 0)$：$ D = -72 < 0 $，为鞍点。
    • 点 $(-3, 2)$：$ D = 72 > 0 $，$ A < 0 $，为极大值，值为 $ f(-3, 2) = 31 $。

答案：
极小值 $-5$（在点 $(1, 0)$），极大值 $31$（在点 $(-3, 2)$）。
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{极小值} & -5 \\\text{极大值} & 31 \\\end{array}}$