题目
填空题（共5题，25.0分）7.（5.0分）微分方程y'=2xy的通解为_____.
填空题（共5题，25.0分）
7.（5.0分）微分方程y'=2xy的通解为_____.
题目解答
答案
将微分方程 $ y' = 2xy $ 分离变量得：
\[
\frac{dy}{y} = 2x \, dx
\]
两边积分：
\[
\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx \implies \ln |y| = x^2 + C_1
\]
取指数消去对数：
\[
|y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} e^{x^2}
\]
令 $ C = e^{C_1} $，则通解为：
\[
y = C e^{x^2} \quad (\text{其中 } C \text{ 为任意常数})
\]
**答案：** $\boxed{y = C e^{x^2}}$
解析
考查要点：本题主要考查可分离变量的一阶微分方程的解法，需要掌握变量分离的基本步骤及积分处理技巧。
解题核心思路：
- 变量分离：将方程改写为关于$y$和$x$的分离形式，即$\frac{dy}{y} = 2x \, dx$。
- 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
- 通解形式：通过指数运算消去对数，引入任意常数$C$，最终得到通解。
破题关键点：
- 分离变量是解题的第一步，需正确整理方程形式。
- 积分后处理需注意常数的合并与符号讨论，确保通解的完整性。
将微分方程 $y' = 2xy$ 分离变量：
$\frac{dy}{y} = 2x \, dx$
步骤1：积分处理
对两边分别积分：
$\int \frac{1}{y} \, dy = \int 2x \, dx$
得到：
$\ln |y| = x^2 + C_1$
其中$C_1$为积分常数。
步骤2：消去对数
对等式两边取指数函数：
$|y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{x^2}$
令$C = e^{C_1}$（$C$为任意常数，包含正负及零），则通解为：
$y = C e^{x^2}$