题目

24 设曲线y=|x|^3与y=1所围成的平面区域为D(1)求平面区域D的面积；(2)设抛物线y=ax^2与直线y=1所围成的平面区域为D1，若D和D1的面积之比为9:4，求a的值，并求平面图形D1绕x轴旋转一周所得的旋转体体积。

24 设曲线$y=|x|^3$与y=1所围成的平面区域为D (1)求平面区域D的面积； (2)设抛物线$y=ax^2$与直线y=1所围成的平面区域为D1，若D和D1的面积之比为9:4，求a的值，并求平面图形D1绕x轴旋转一周所得的旋转体体积。

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们将分步骤进行。 ### 第一步：求平面区域 $D$ 的面积 曲线 $y = |x|^3$ 与 $y = 1$ 所围成的平面区域 $D$ 关于y轴对称。因此，我们只需计算 $x \geq 0$ 部分的面积，然后乘以2。 对于 $x \geq 0$，曲线为 $y = x^3$。曲线 $y = x^3$ 与 $y = 1$ 的交点为 $x = 1$。因此，从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的面积为： \[ \int_0^1 (1 - x^3) \, dx \] 计算这个积分，我们得到： \[ \int_0^1 (1 - x^3) \, dx = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] 由于区域关于y轴对称，总面积 $A_D$ 为： \[ A_D = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \] ### 第二步：求 $a$ 的值 抛物线 $y = ax^2$ 与 $y = 1$ 所围成的平面区域 $D_1$ 也关于y轴对称。曲线 $y = ax^2$ 与 $y = 1$ 的交点为 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$。因此，从 $x = -\frac{1}{\sqrt{a}}$ 到 $x = \frac{1}{\sqrt{a}}$ 的面积为： \[ \int_{-\frac{1}{\sqrt{a}}}^{\frac{1}{\sqrt{a}}} \left(1 - ax^2\right) \, dx \] 由于区域关于y轴对称，我们可以计算 $x \geq 0$ 部分的面积，然后乘以2： \[ 2 \int_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}} \left(1 - ax^2\right) \, dx = 2 \left[ x - \frac{ax^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}} = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{a^{3/2}} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{3\sqrt{a}} \right) = 2 \cdot \frac{2}{3\sqrt{a}} = \frac{4}{3\sqrt{a}} \] 已知 $D$ 和 $D_1$ 的面积之比为9:4，因此： \[ \frac{A_D}{A_{D_1}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3\sqrt{a}}} = \frac{9\sqrt{a}}{8} = \frac{9}{4} \] 解 $\sqrt{a}$，我们得到： \[ \frac{9\sqrt{a}}{8} = \frac{9}{4} \implies \sqrt{a} = 2 \implies a = 4 \] ### 第三步：求平面图形 $D_1$ 绕x轴旋转一周所得的旋转体体积 抛物线 $y = 4x^2$ 与 $y = 1$ 所围成的平面区域 $D_1$ 绕x轴旋转一周所得的旋转体体积 $V$ 可以使用圆盘法求得。体积为： \[ V = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(1^2 - (4x^2)^2\right) \, dx = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(1 - 16x^4\right) \, dx \] 由于被积函数是偶函数，我们可以计算 $x \geq 0$ 部分的积分，然后乘以2： \[ V = 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} \left(1 - 16x^4\right) \, dx = 2\pi \left[ x - \frac{16x^5}{5} \right]_0^{\frac{1}{2}} = 2\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{32} \right) = 2\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \right) = 2\pi \cdot \frac{4}{10} = \frac{4\pi}{5} \] 因此，平面图形 $D_1$ 绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为： \[ \boxed{\frac{4\pi}{5}} \]

解析

考查要点：本题主要考查平面区域面积的计算、积分应用以及旋转体体积的求解。
解题思路：

  1. 对称性简化计算：利用曲线关于y轴对称的特性，将积分区间缩小为正半轴，再乘以2。
  2. 面积比建立方程：通过已知面积比，建立关于参数$a$的方程，解出$a$的值。
  3. 旋转体体积公式：使用圆盘法计算绕x轴旋转的体积，注意积分区间的对称性。

第（1）题：求平面区域D的面积

关键步骤：

  1. 确定交点：曲线$y=|x|^3$与$y=1$的交点为$x=1$和$x=-1$。
  2. 对称性简化：因曲线关于y轴对称，计算$x \geq 0$部分的面积后乘以2。
  3. 积分计算：
    $A_D = 2 \int_0^1 (1 - x^3) \, dx = 2 \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$

第（2）题：求$a$的值及旋转体体积

求$a$的值

关键步骤：

  1. 确定交点：抛物线$y=ax^2$与$y=1$的交点为$x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$。
  2. 面积计算：
    $A_{D_1} = 2 \int_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}} \left(1 - ax^2\right) \, dx = \frac{4}{3\sqrt{a}}$
  3. 面积比方程：
    $\frac{A_D}{A_{D_1}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3\sqrt{a}}} = \frac{9}{4} \implies \sqrt{a} = 2 \implies a = 4$

求旋转体体积

关键步骤：

  1. 圆盘法公式：
    $V = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(1^2 - (4x^2)^2\right) \, dx$
  2. 对称性简化：
    $V = 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} \left(1 - 16x^4\right) \, dx = \frac{4\pi}{5}$