二次型 f(x_1, x_2, x_3) = x^T } 1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 1 & 2 & 1 x 的秩为( );A. 0.B. 2.C. 3.D. 1.

本题考查二次型的秩的计算，解题思路是先明确二次型的矩阵，再通过对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，最后根据行阶梯形矩阵非零行的行数确定矩阵的秩，该秩即为二次型的秩。

已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x^T \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} x$，其矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
对矩阵$A$进行初等行变换：

• 第三行减去第一行，即$r_3 - r_1$，可得：
  $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 2 - 2 & 1 - 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
  此时得到的矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$为行阶梯形矩阵，其非零行有$2$行。
  但是，由于二次型矩阵是对称矩阵，我们可以进一步化简。
  原矩阵$A$的第一行和第三行相同，说明矩阵$A$的行向量组线性相关，且矩阵$A$的秩等于其非零特征值的个数。
  计算矩阵$A$的特征多项式$\vert\lambda E - A\vert$：
  \(\vert\lambda E - A\vert=\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 & -1 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ -1 & -2 & \lambda - 1 \end{vmatrix}= (\lambda - 1)\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -1 \\ -1 & \lambda - 1 \end{vmatrix}= (\lambda - 1)[(\lambda - 1)^2 - 1]= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2\lambda + 1 - 1)= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2\lambda)= \lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2)\)
  令$\vert\lambda E - A\vert = 0$，解得特征值$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 2$，非零特征值有$2$个，但是我们发现原矩阵$A$的第一行和第三行相同，实际上矩阵$A$的秩为$1$。