考查要点：本题主要考查向量组的线性表出条件，即非齐次线性方程组有解的判定条件。关键在于通过增广矩阵的行变换，确定参数间的关系。

解题思路：将向量β表示为α₁和α₂的线性组合，转化为线性方程组求解问题。通过构造增广矩阵并进行行变换，判断方程组何时有解，从而得到a与b的关系。

破题关键：通过行变换将增广矩阵化为阶梯形，最后一行的常数项必须为0，才能保证方程组有解，由此建立方程求解a和b的关系。

设存在实数$x_1, x_2$，使得$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta$，即：
$\begin{cases}x_1 + 2x_2 = 2 \\x_1 + 3x_2 = 1 \\x_1 + a x_2 = b\end{cases}$

构造增广矩阵并进行行变换：
$\left[\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 2 \\1 & 3 & 1 \\1 & a & b\end{array}\right]$

1. 消去第一列下方元素：

   • 第二行减去第一行：$R2 \leftarrow R2 - R1$，得 $0 \quad 1 \quad -1$；
   • 第三行减去第一行：$R3 \leftarrow R3 - R1$，得 $0 \quad (a-2) \quad (b-2)$。

   此时矩阵为：
   $\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & a-2 & b-2 \end{array}\right]$

2. 消去第二列下方元素：

   • 第三行减去$(a-2)$倍第二行：$R3 \leftarrow R3 - (a-2)R2$，得：
     $0 \quad 0 \quad (b-2) + (a-2) \cdot 1 = a + b -4$

   最终增广矩阵为：
   $\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a + b -4 \end{array}\right]$

3. 方程组有解的条件：最后一行对应方程$0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = a + b -4$必须成立，即：
   $a + b -4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = 4$