题目
求曲线 =(e)^-x 上通过原点的切线方程及和直线 x+y=2 垂直的法线方程.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查曲线切线方程和法线方程的求解方法，涉及导数的几何意义、直线垂直的条件。
解题思路：
- 切线方程：先求曲线在任意点$(x_0, e^{-x_0})$处的导数（即切线斜率），利用切线过原点的条件建立方程，解出$x_0$，从而确定切点坐标和切线方程。
- 法线方程：法线斜率为切线斜率的负倒数，结合与已知直线垂直的条件（斜率乘积为$-1$），解出$x_0$，进而写出法线方程。
关键点：
- 导数求切线斜率：$y' = -e^{-x}$。
- 直线垂直条件：两直线斜率乘积为$-1$。
过原点的切线方程
- 求导数：曲线$y = e^{-x}$的导数为$y' = -e^{-x}$，在点$(x_0, e^{-x_0})$处的切线斜率为$m_{\text{切}} = -e^{-x_0}$。
- 切线方程：用点斜式得：
$y - e^{-x_0} = -e^{-x_0}(x - x_0)$ - 代入原点：切线过原点$(0,0)$，代入方程：
$0 - e^{-x_0} = -e^{-x_0}(0 - x_0) \implies -e^{-x_0} = e^{-x_0}x_0$
两边除以$e^{-x_0}$（非零）得：
$-1 = x_0 \implies x_0 = -1$ - 确定切点：当$x_0 = -1$时，$y = e^{-(-1)} = e$，切点为$(-1, e)$。
- 切线方程：斜率为$-e^{-(-1)} = -e$，方程为：
$y = -e x$
与直线$x + y = 2$垂直的法线方程
- 已知直线斜率：直线$x + y = 2$的斜率为$-1$，故法线斜率为$1$（垂直条件）。
- 法线斜率：曲线在点$(x_0, e^{-x_0})$处的法线斜率为$m_{\text{法}} = \frac{1}{e^{-x_0}} = e^{x_0}$。
- 联立方程：由$m_{\text{法}} = 1$得：
$e^{x_0} = 1 \implies x_0 = 0$ - 确定法线点：当$x_0 = 0$时，$y = e^{-0} = 1$，法线经过点$(0, 1)$。
- 法线方程：斜率为$1$，方程为：
$y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x + 1$