题目
六、应用题（每小题10分，共10分）求向量组alpha_(1)=(1,2,1,2)^T,alpha_(2)=(1,0,3,1)^T,alpha_(3)=(2,-1,0,1)^T,alpha_(4)=(2,1,-2,2)^T,alpha_(5)=(2,2,4,3)^T的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
六、应用题（每小题10分，共10分）
求向量组$\alpha_{1}=(1,2,1,2)^{T},\alpha_{2}=(1,0,3,1)^{T},\alpha_{3}=(2,-1,0,1)^{T},\alpha_{4}=(2,1,-2,2)^{T},\alpha_{5}=(2,2,4,3)^{T}$的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A$，进行初等行变换化为行最简形：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 0 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 0 & -2 & 4 \\
2 & 1 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
从行最简形中，极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，其余向量表示为：
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3, \\
\alpha_5 = \alpha_1 + \alpha_2.
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查向量组极大线性无关组的求解方法，以及用极大线性无关组线性表示其他向量的能力。
解题核心思路：
- 构造矩阵：将向量组作为列向量构成矩阵。
- 行变换化简：通过初等行变换将矩阵化为行最简形，确定主列位置。
- 确定极大无关组：主列对应的原向量即为极大线性无关组。
- 线性表示关系：根据行最简形中非主列的列元素，写出其余向量的线性组合表达式。
破题关键点：
- 行最简形的构造：正确进行行变换，确保主元位置清晰。
- 主列的识别：主列对应极大线性无关组，非主列通过主列线性表示。
步骤1：构造矩阵
将向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$作为列向量，构成矩阵$A$：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\2 & 0 & -1 & 1 & 2 \\1 & 3 & 0 & -2 & 4 \\2 & 1 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$
步骤2：初等行变换化简
对矩阵$A$进行行变换，化为行最简形：
$A \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
步骤3：确定极大线性无关组
行最简形中前3列为主列，对应原向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，因此极大线性无关组为$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$。
步骤4：线性表示其余向量
- $\alpha_4$的表示：
行最简形第4列元素为$1, -1, 1$，对应方程：
$\alpha_4 = 1 \cdot \alpha_1 + (-1) \cdot \alpha_2 + 1 \cdot \alpha_3$ - $\alpha_5$的表示：
行最简形第5列元素为$1, 1, 0$，对应方程：
$\alpha_5 = 1 \cdot \alpha_1 + 1 \cdot \alpha_2 + 0 \cdot \alpha_3$