题目
例2 计算I=int_(L)(x^2+2xy)dx+(x^2+y^4)dy，其中L为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线y=sin(pi)/(2)x.
例2 计算$I=\int_{L}(x^{2}+2xy)dx+(x^{2}+y^{4})dy$，
其中L为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线$y=\sin\frac{\pi}{2}x$.
题目解答
答案
由于向量场 $ (P, Q) $ 满足 $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x $，积分与路径无关。可选择直线 $ y = x $ 从 $ (0,0) $ 到 $ (1,1) $，此时 $ dy = dx $。代入积分得：
\[
I = \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2x^2) + (x^2 + x^4) \right] dx = \int_{0}^{1} (4x^2 + x^4) dx.
\]
计算得：
\[
I = \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} + \frac{1}{5} = \frac{20}{15} + \frac{3}{15} = \frac{23}{15}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{23}{15}}$
解析
步骤 1：验证向量场是否为保守场
向量场 $ (P, Q) $ 满足 $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x $，因此积分与路径无关，可以选取任意路径计算积分。
步骤 2：选择路径
选择直线 $ y = x $ 从 $ (0,0) $ 到 $ (1,1) $，此时 $ dy = dx $。
步骤 3：代入积分
代入积分得： \[ I = \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2x^2) + (x^2 + x^4) \right] dx = \int_{0}^{1} (4x^2 + x^4) dx. \]
步骤 4：计算积分
计算得： \[ I = \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} + \frac{1}{5} = \frac{20}{15} + \frac{3}{15} = \frac{23}{15}. \]
向量场 $ (P, Q) $ 满足 $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x $，因此积分与路径无关，可以选取任意路径计算积分。
步骤 2：选择路径
选择直线 $ y = x $ 从 $ (0,0) $ 到 $ (1,1) $，此时 $ dy = dx $。
步骤 3：代入积分
代入积分得： \[ I = \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2x^2) + (x^2 + x^4) \right] dx = \int_{0}^{1} (4x^2 + x^4) dx. \]
步骤 4：计算积分
计算得： \[ I = \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} + \frac{1}{5} = \frac{20}{15} + \frac{3}{15} = \frac{23}{15}. \]