求由直线 _(1):dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(3)=dfrac (z-1)(1) 和直线L2: ) x=1+t y=1+2t z=1+3t . 所确定的平面方程.

步骤 1：确定直线L1的方向向量
直线L1的方程为 $\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-1}{3}=\dfrac {z-1}{1}$，由此可得直线L1的方向向量为 $\vec{A_1}=(1,3,1)$。

步骤 2：确定直线L2的方向向量
直线L2的方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=1+t,\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{matrix} \right.$，由此可得直线L2的方向向量为 $\vec{A_2}=(1,2,3)$。

步骤 3：计算平面的法向量
平面的法向量 $\vec{p}$ 可以通过直线L1和直线L2的方向向量的叉乘得到，即 $\vec{p}=\vec{A_1} \times \vec{A_2}$。计算叉乘：
$$
\vec{p} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix} = (3 \cdot 3 - 1 \cdot 2)\vec{i} - (1 \cdot 3 - 1 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 2 - 3 \cdot 1)\vec{k} = (9-2)\vec{i} - (3-1)\vec{j} + (2-3)\vec{k} = 7\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k}
$$
所以，平面的法向量为 $\vec{p}=(7,-2,-1)$。

步骤 4：确定平面方程
平面方程的一般形式为 $Ax+By+Cz+D=0$，其中 $(A,B,C)$ 是平面的法向量。根据步骤3，我们已知平面的法向量为 $(7,-2,-1)$，所以平面方程为 $7x-2y-z+D=0$。为了确定常数 $D$，我们可以将直线L1或L2上的任意一点代入方程。这里我们选择直线L1上的点 $(1,1,1)$，代入得：
$$
7 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 + D = 0
$$
解得 $D = -4$。因此，平面方程为 $7x-2y-z-4=0$。