如果一个齐次线性方程组的方程个数少于未知数的个数,则该方程组一定有非零解。()A. 对B. 错

步骤 1：理解齐次线性方程组
齐次线性方程组是指形如 Ax = 0 的方程组，其中 A 是一个 m×n 的矩阵，x 是一个 n 维的列向量，0 是一个 m 维的零向量。齐次线性方程组总是有零解，即 x = 0 是一个解。

步骤 2：考虑方程个数少于未知数个数的情况
如果方程个数 m 少于未知数个数 n，即 m < n，那么矩阵 A 的列数大于行数。这意味着矩阵 A 的秩 r(A) 最多为 m，而未知数的个数为 n。因此，矩阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n，即 r(A) < n。

步骤 3：应用线性代数的基本定理
根据线性代数的基本定理，齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间的维数等于未知数的个数 n 减去矩阵 A 的秩 r(A)，即解空间的维数为 n - r(A)。由于 r(A) < n，所以 n - r(A) > 0，这意味着解空间的维数大于零，即解空间中存在非零解。