题目
(2) lim _(xarrow 0)dfrac (sin ({x)^n)}({(sin x))^m} (n,m为正整数);
题目解答
答案
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin x \sim x$，即 $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小。因此，$\sin(x^n) \sim x^n$ 和 $(\sin x)^m \sim x^m$。
步骤 2：代入等价无穷小
将等价无穷小代入原极限式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^n}{x^m}$。
步骤 3：化简极限式
化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m}$。
步骤 4：讨论不同情况
- 当 $n > m$ 时，$n-m > 0$，$\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m} = 0$。
- 当 $n = m$ 时，$n-m = 0$，$\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m} = 1$。
- 当 $n < m$ 时，$n-m < 0$，$\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m} = \infty$。
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin x \sim x$，即 $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小。因此，$\sin(x^n) \sim x^n$ 和 $(\sin x)^m \sim x^m$。
步骤 2：代入等价无穷小
将等价无穷小代入原极限式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^n}{x^m}$。
步骤 3：化简极限式
化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m}$。
步骤 4：讨论不同情况
- 当 $n > m$ 时，$n-m > 0$，$\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m} = 0$。
- 当 $n = m$ 时，$n-m = 0$，$\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m} = 1$。
- 当 $n < m$ 时，$n-m < 0$，$\lim _{x\rightarrow 0}x^{n-m} = \infty$。