1.设(X,d)是度量空间.令-|||-rho (x,y)=dfrac (d(x,y))(1+d(x,y)) , 任意 ,yin X.-|||-证明:(X,ρ)是度量空间.

本题考察度量空间的定义及验证，需证明$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$满足度量空间的三个条件：非负性、对称性、三角不等式。

步骤1：验证非负性与$\rho(x,y)=0\iff x=y$

• 非负性：因$dd(x,y)\geq0$，分母$1+d(x,y)\geq1>0$，故$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)\over1+d(x,y)}\geq0$。
• $\rho(x,y)=0\iff x=y$：
  • 若$x=y$，则$d(x,y)=0$，故$\rho(x,y)=0$={0\over1+0}=0)；
  • 若$\rho(x,y)=0$，则分子$d(x,y)=0$，故$x=y$。

验证对称性

$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}=\rho(y,x)$，因\(d(x\\)d(y,x))。

验证三角不等式

需证$\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)$，即证：
$\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}\leq\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+d(y,z)}$
关键转化：对$t\geq0$，函数$f(t)=\frac{t}{1+t}$单调递增（导数\f'(t)=\frac{1}{(1+t)^2}>0)）。
由$d$的三角不等式：$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)=s$（记$a=d(x,y),b=d(y,z)$，则$s=a+b$，需证：
$\frac{s}{1+s}\leq\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$
代数变形：
右边$=\frac{a(1+b)+b(1+a)\over(1+a)(1+b)}=\frac{a+b+2ab}{1+a+b+}\+ab}$
左边$=\frac{s}{1+s}=\frac{a+b}{1+a+b+ab}$
显然$a+b\leq a+b+2ab$，故左边≤右边，不等式成立。