题目
一直线过点 M(1,2,1),垂直于直线 _(1):dfrac (x-1)(3)=dfrac (y)(2)=dfrac (z+1)(1), 且和直线 _(2):dfrac (x)(2)=y=dfrac (z)(-1) 相交,求该直-|||-线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线L1和L2的方向向量
直线L1的方向向量为${S}_{1}=\{ 3,2,1\} $，直线L2的方向向量为${S}_{2}=\{ 2,1,-1\} $。
步骤 2：确定平面π的法向量n
过点M(1,2,1)及直线L2作平面π，取直线L2上的点M2(0,0,0)，则$\overrightarrow {{M}_{2}M}=\{ 1,2,1\} $。平面π的法向量n满足$n\bot \overrightarrow {{M}_{2}M}$和$n\bot {S}_{2}$，因此n为$\overrightarrow {{M}_{2}M}$和${S}_{2}$的叉积，即$n=\overrightarrow {{M}_{2}M}\times {S}_{2}=\left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& -1\end{matrix} | \right.$，计算得$n=\{ -3,3,-3\} $，简化为$n=\{ 1,-1,1\} $。
步骤 3：确定所求直线的方向向量s
所求直线的方向向量s满足$s\bot n$和$s\bot {S}_{1}$，因此s为n和${S}_{1}$的叉积，即$s=n\times {S}_{1}=\left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& -1& 1\\ 3& 2& 1\end{matrix} | \right.$，计算得$s=\{ -3,-2,-5\} $，简化为$s=\{ 3,-2,-5\} $。
步骤 4：写出所求直线的方程
所求直线过点M(1,2,1)，方向向量为s={3,-2,-5}，因此直线方程为$\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y-2}{-2}=\dfrac {z-1}{-5}$。
直线L1的方向向量为${S}_{1}=\{ 3,2,1\} $，直线L2的方向向量为${S}_{2}=\{ 2,1,-1\} $。
步骤 2：确定平面π的法向量n
过点M(1,2,1)及直线L2作平面π，取直线L2上的点M2(0,0,0)，则$\overrightarrow {{M}_{2}M}=\{ 1,2,1\} $。平面π的法向量n满足$n\bot \overrightarrow {{M}_{2}M}$和$n\bot {S}_{2}$，因此n为$\overrightarrow {{M}_{2}M}$和${S}_{2}$的叉积，即$n=\overrightarrow {{M}_{2}M}\times {S}_{2}=\left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& -1\end{matrix} | \right.$，计算得$n=\{ -3,3,-3\} $，简化为$n=\{ 1,-1,1\} $。
步骤 3：确定所求直线的方向向量s
所求直线的方向向量s满足$s\bot n$和$s\bot {S}_{1}$，因此s为n和${S}_{1}$的叉积，即$s=n\times {S}_{1}=\left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& -1& 1\\ 3& 2& 1\end{matrix} | \right.$，计算得$s=\{ -3,-2,-5\} $，简化为$s=\{ 3,-2,-5\} $。
步骤 4：写出所求直线的方程
所求直线过点M(1,2,1)，方向向量为s={3,-2,-5}，因此直线方程为$\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y-2}{-2}=\dfrac {z-1}{-5}$。