题目
从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ____ ．
从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ____ ．
题目解答
答案
解：根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有C${}_{8}^{4}$=70种取法，
若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，
则这4个点在同一个平面的概率P=$\frac{12}{70}$=$\frac{6}{35}$；
故答案为：$\frac{6}{35}$．
若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，
则这4个点在同一个平面的概率P=$\frac{12}{70}$=$\frac{6}{35}$；
故答案为：$\frac{6}{35}$．
解析
步骤 1：计算从8个顶点中任选4个顶点的组合数
从8个顶点中任选4个顶点的组合数为C${}_{8}^{4}$，根据组合数的计算公式，C${}_{8}^{4}$ = $\frac{8!}{4!(8-4)!}$ = $\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ = 70。
步骤 2：确定4个点在同一个平面的情况数
4个点在同一个平面的情况包括：底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况。
步骤 3：计算4个点在同一个平面的概率
根据概率的计算公式，这4个点在同一个平面的概率P = $\frac{12}{70}$ = $\frac{6}{35}$。
从8个顶点中任选4个顶点的组合数为C${}_{8}^{4}$，根据组合数的计算公式，C${}_{8}^{4}$ = $\frac{8!}{4!(8-4)!}$ = $\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ = 70。
步骤 2：确定4个点在同一个平面的情况数
4个点在同一个平面的情况包括：底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况。
步骤 3：计算4个点在同一个平面的概率
根据概率的计算公式，这4个点在同一个平面的概率P = $\frac{12}{70}$ = $\frac{6}{35}$。